Somma di una serie
Sto incontrantoparecchi problemi nel calcolare la somma di questa serie
$\sum_{n=2}^{+\infty}(2n^2)/((n+1)!)$
La soluzione è $2e -3$ ma non ho trovato il modo di risolvere tare esercizio. Molto probabilmente mi manca qualche serie notevole che non conosco.
$\sum_{n=2}^{+\infty} (2n^2)/(n(n+1)(n-1)!) $
$\sum_{n=2}^{+\infty} (2n)/((n+1)(n-1)!) $
Si lo so che è molto poco e scritto anche in maniera confusa, ma ho iniziato a studiare questo argomento soltanto oggi, abbiate pietà
$\sum_{n=2}^{+\infty}(2n^2)/((n+1)!)$
La soluzione è $2e -3$ ma non ho trovato il modo di risolvere tare esercizio. Molto probabilmente mi manca qualche serie notevole che non conosco.
$\sum_{n=2}^{+\infty} (2n^2)/(n(n+1)(n-1)!) $
$\sum_{n=2}^{+\infty} (2n)/((n+1)(n-1)!) $
Si lo so che è molto poco e scritto anche in maniera confusa, ma ho iniziato a studiare questo argomento soltanto oggi, abbiate pietà
Risposte
"JeKO":
Sto incontrantoparecchi problemi nel calcolare la somma di questa serie
$\sum_{n=2}^{+\infty}(2n^2)/((n+1)!)$
La soluzione è $2e -3$ ma non ho trovato il modo di risolvere tare esercizio. Molto probabilmente mi manca qualche serie notevole che non conosco.
$\sum_{n=2}^{+\infty} (2n^2)/(n(n+1)(n-1)!) $
$\sum_{n=2}^{+\infty} (2n)/((n+1)(n-1)!) $
Si lo so che è molto poco e scritto anche in maniera confusa, ma ho iniziato a studiare questo argomento soltanto oggi, abbiate pietà
Hai che
$1/((n-1)!)-1/(n!)+1/((n+1)!)=(n^2)/((n+1)!)$
da cui
$sum_(n=2)^infty 1/((n-1)!)-1/(n!)+1/((n+1)!)=(n^2)/((n+1)!) = sum_(n=2)^infty (n^2)/((n+1)!)$
$1+sum_(n=2)^infty 1/((n+1)!)=(n^2)/((n+1)!) = sum_(n=2)^infty (n^2)/((n+1)!)$
$1+e-1-1/2=sum_(n=2)^infty (n^2)/((n+1)!)$
$e-3/2=sum_(n=2)^infty (n^2)/((n+1)!)$
e il risultato segue...
Ciao!
"carlo23":
[quote="JeKO"]Sto incontrantoparecchi problemi nel calcolare la somma di questa serie
$\sum_{n=2}^{+\infty}(2n^2)/((n+1)!)$
La soluzione è $2e -3$ ma non ho trovato il modo di risolvere tare esercizio. Molto probabilmente mi manca qualche serie notevole che non conosco.
$\sum_{n=2}^{+\infty} (2n^2)/(n(n+1)(n-1)!) $
$\sum_{n=2}^{+\infty} (2n)/((n+1)(n-1)!) $
Si lo so che è molto poco e scritto anche in maniera confusa, ma ho iniziato a studiare questo argomento soltanto oggi, abbiate pietà
Hai che
$1/((n-1)!)-1/(n!)+1/((n+1)!)=(n^2)/((n+1)!)$
da cui
$sum_(n=2)^infty 1/((n-1)!)-1/(n!)+1/((n+1)!)=(n^2)/((n+1)!) = sum_(n=2)^infty (n^2)/((n+1)!)$
$1+sum_(n=2)^infty 1/((n+1)!)=(n^2)/((n+1)!) = sum_(n=2)^infty (n^2)/((n+1)!)$
$1+e-1-1/2=sum_(n=2)^infty (n^2)/((n+1)!)$
$e-3/2=sum_(n=2)^infty (n^2)/((n+1)!)$
e il risultato segue...
Ciao!
[/quote]Carlo grazie mille per la tua spiegazione, tutto chiaro, veramente! L'unico problema che è rimasto ora è questo come sei riuscito ad impostare che
$1/((n-1)!)-1/(n!)+1/((n+1)!)=(n^2)/((n+1)!)$
Sto cercando sia sulle dispense del mio professore e su internet ma no ho trovato nulla a riguardo, potete darmi qualche indicazione a riguardo per favore?
Carlo grazie mille per la tua spiegazione, tutto chiaro, veramente! L'unico problema che è rimasto ora è questo come sei riuscito ad impostare che
$1/((n-1)!)-1/(n!)+1/((n+1)!)=(n^2)/((n+1)!)$
Sto cercando sia sulle dispense del mio professore e su internet ma no ho trovato nulla a riguardo, potete darmi qualche indicazione a riguardo per favore?[/quote]
Beh, ho eseguito la somma di frazioni. Oppure forse intendi come ho intuito che fosse quella l'uguaglianza per la dimostrazione, ho solamente provato a combinare le frazioni in parecchi modi diversi, e sono stato fortunato...
Ciao!
$1/((n-1)!)-1/(n!)+1/((n+1)!)=(n^2)/((n+1)!)$
Sto cercando sia sulle dispense del mio professore e su internet ma no ho trovato nulla a riguardo, potete darmi qualche indicazione a riguardo per favore?[/quote]
Beh, ho eseguito la somma di frazioni. Oppure forse intendi come ho intuito che fosse quella l'uguaglianza per la dimostrazione, ho solamente provato a combinare le frazioni in parecchi modi diversi, e sono stato fortunato...
Ciao!
"carlo23":Carlo grazie mille per la tua spiegazione, tutto chiaro, veramente! L'unico problema che è rimasto ora è questo come sei riuscito ad impostare che
$1/((n-1)!)-1/(n!)+1/((n+1)!)=(n^2)/((n+1)!)$
Sto cercando sia sulle dispense del mio professore e su internet ma no ho trovato nulla a riguardo, potete darmi qualche indicazione a riguardo per favore?
Beh, ho eseguito la somma di frazioni. Oppure forse intendi come ho intuito che fosse quella l'uguaglianza per la dimostrazione, ho solamente provato a combinare le frazioni in parecchi modi diversi, e sono stato fortunato...
Ciao!
Hmmm, mi sembra strano... nel senso, sarà che non sono abituato, ma non posso ogni volta fare prove a caso per risolvere esercizi... mi finisce il tempo e concludo poco! Provo a svolgere qualche altro esercizio e poi faccio sapere quanto male vanno
.Ciao
Fortunato Jeko che ha capito tutto o quasi. Io ,per esempio, non ho
capito come da 1+e-1-1/2 possa poi risultare e-3/2!
Di certo ci deve essere qualche errore di battitura....
Archimede
capito come da 1+e-1-1/2 possa poi risultare e-3/2!
Di certo ci deve essere qualche errore di battitura....
Archimede
"archimede":
Fortunato Jeko che ha capito tutto o quasi. Io ,per esempio, non ho
capito come da 1+e-1-1/2 possa poi risultare e-3/2!
Di certo ci deve essere qualche errore di battitura....
Archimede
Hai ragione archimede, è $1+e-1-1-1/2$ come hai detto ho battuto male
Comunque è chiaro da dove esce quell'1, è il termine da sottrarre (insieme a 1/2) a $e$ per sostituirla alla somma.
Ciao!
Un momento non mi dite così... che allora significa che ho capito poco e niente
$\sum_{n=2}^{+\infty}(2n^2)/((n+1)!)$
Posso riscriverla
$\sum_{n=2}^{+\infty}2(n^2)/((n+1)!)$
$2 \sum_{n=2}^{+\infty}(n^2)/((n+1)!)$
Qui ancora non ho capito bene... ma sto studiando, datemi un po' di tempo e ci arrivo.
$2 \sum_{n=2}^{+\infty}1/((n-1)!)-1/(n!)+1/((n+1)!)$
Che posso "spezzare" in:
$2(\sum_{n=2}^{+\infty}1/((n-1)!) - \sum_{n=2}^{+\infty}1/(n!) + \sum_{n=2}^{+\infty}1/((n+1)! ))$
Quindi... diciamo che per le mie conoscenze attuali mi farmo qui, ma "buttati" in pasto a Mathematica ho che:
$2( 2 - e - 1 + e + 1/2 * (-5 + 2e))$
e facendo un paio di conti:
$ -3 + 2e $
"JeKO":
Che posso "spezzare" in:
$2(\sum_{n=2}^{+\infty}1/((n-1)!) - \sum_{n=2}^{+\infty}1/(n!) + \sum_{n=2}^{+\infty}1/((n+1)! ))$
Quindi... diciamo che per le mie conoscenze attuali mi farmo qui
Non è molto complesso, basta considerare
$\sum_{n=2}^{+\infty}1/((n-1)!) - \sum_{n=2}^{+\infty}1/(n!)$
ora possiamo "traslare" la prima serie, facendo il cambio di indice $n=m+1$
$\sum_{m=1}^{+\infty}1/(m!) - \sum_{n=2}^{+\infty}1/(n!)$
e ricordando di cambiare il limite inferiore (in pratica è un pò come il cambio di variabile in un integrale, ma più semplice),
le due serie sono uguali ma la prima ha un termine in più quindi viene $1$.Lavorandoin questo modo ti dovrebbe essere facile trovare il risultato.
Ciao!
Jeko,come ti gia' fatto vedere carlo23,non occorre usare Mathematica
(mica te lo puoi portare all'esame!).Occorre solo ricordare lo sviluppo
in serie di e^x:
$e^x=1+x/(1!)+x^2/(2!)+x^3/(3!)+x^4/(4!)+.......$ e ponendo x=1:
$e=1+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+......$ da cui ottieni:
$e-1=1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+....=sum_(n>=2)1/((n-1)!)$
$e-2=1/(2!)+1/(3!)+....=sum_(n>=2)1/(n!)$
$e-5/2=1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+....=sum_(n>=2)1/((n+1)!)$
E quindi la somma totale sara': $2*[(e-1)-(e-2)+(e-5/2)]=2e-3$
Archimede
(mica te lo puoi portare all'esame!).Occorre solo ricordare lo sviluppo
in serie di e^x:
$e^x=1+x/(1!)+x^2/(2!)+x^3/(3!)+x^4/(4!)+.......$ e ponendo x=1:
$e=1+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+......$ da cui ottieni:
$e-1=1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+....=sum_(n>=2)1/((n-1)!)$
$e-2=1/(2!)+1/(3!)+....=sum_(n>=2)1/(n!)$
$e-5/2=1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+....=sum_(n>=2)1/((n+1)!)$
E quindi la somma totale sara': $2*[(e-1)-(e-2)+(e-5/2)]=2e-3$
Archimede
"archimede":
Jeko,come ti gia' fatto vedere carlo23,non occorre usare Mathematica
Ti consiglio anche io di usare Mathematica solo in casi estremi. Tra l'altro non mi fido molto dei software matematici....
@carlo23
Hai ragione.Pensa che Derive5 mi da' come risultato il valore 2e!!
Provare per credere ( e non puo' dipendere dalla scarsa potenza del mio processore
dato che il calcolo l'ho fatto sia con un P2-350Mz sia con un P4-3.2Gz)
Archimede
Hai ragione.Pensa che Derive5 mi da' come risultato il valore 2e!!
Provare per credere ( e non puo' dipendere dalla scarsa potenza del mio processore
dato che il calcolo l'ho fatto sia con un P2-350Mz sia con un P4-3.2Gz)
Archimede
Derive 6 mi da invece il corretto risultato.
Io derive6 non ce l'ho ma mi domando:quali bug nasconde come derive5?
Con cio' non nego la grande utilita' di questi sotware ma un po' di sana diffidenza
non guasta.
Ciao.
Archie.
Con cio' non nego la grande utilita' di questi sotware ma un po' di sana diffidenza
non guasta.
Ciao.
Archie.
Si, devo dire che sono d'accordo, anche se io sarei per un uso ragionato di questi software, ossia se uno conosce la materia, quei software non potranno che aiutarlo, dato che si suppone che uno sia critico nei confronti dei risultati ottenuti. Se invece uno prende il risultato senza ragionarci un minimo, può imbattersi in errori come questo...
"cavallipurosangue":
Si, devo dire che sono d'accordo, anche se io sarei per un uso ragionato di questi software, ossia se uno conosce la materia, quei software non potranno che aiutarlo, dato che si suppone che uno sia critico nei confronti dei risultati ottenuti. Se invece uno prende il risultato senza ragionarci un minimo, può imbattersi in errori come questo...
Io uso il computer per scopi matematici, di solito creo un programma che esegua un algoritmo per calcolare il valore di una serie...
Non uso mai il computer per trovare derivate o integrali indefiniti (prima di tutto perchè non ho i programmi adeguati),
non che non mi fidi, ma non lo trovo elegante ne soddisfacente...
Ciao!
Beh direi che il tempo è una variabile importante, quando dovrai risolvere problemi molto complessi e molto ricchi di calcoli, nel minor tempo possibile dovrai affidarli ad una macchina, controllarli sì, ma intanto lasciare libero il tuo cervello per fare delle cose che il computer non può fare. Si nota subito che il matematico viene unpò escluso da questa situazione, perchè a lui il tempo non manca di solito e poi perchè la soddisfazione di risolvere un problema con le proprie forze è maggiore di ogni altra cosa penso. se invece usi la matematica per esempio ai fini di ricerca e sviluppo per la progettazione, credo che sia indispensabile servirsi di quegli strumenti, anche se in modo oculato.
"cavallipurosangue":
Beh direi che il tempo è una variabile importante, quando dovrai risolvere problemi molto complessi e molto ricchi di calcoli, nel minor tempo possibile dovrai affidarli ad una macchina, controllarli sì, ma intanto lasciare libero il tuo cervello per fare delle cose che il computer non può fare. Si nota subito che il matematico viene unpò escluso da questa situazione, perchè a lui il tempo non manca di solito e poi perchè la soddisfazione di risolvere un problema con le proprie forze è maggiore di ogni altra cosa penso. se invece usi la matematica per esempio ai fini di ricerca e sviluppo per la progettazione, credo che sia indispensabile servirsi di quegli strumenti, anche se in modo oculato.
Hai ragione, ma sai io sono più un teorico...
Ciao!
Hmmm, ragazzi non pensavo di alzare una discussione... comunque si indubbiamente l'uso di questi porgrammi è un arma a doppio taglio si lo ammetto, ma quando stai da solo... in università, non trovi nessuno che ti aiuta... i professori il sabato non ci sono, i tuoi colleghi ti danno buca... bhe io mi affido molto volentieri a Mathematica per controllare i miei calcoli...
P.S.: Io sono arrivato alla frutta... me ne vado a casa, grazie e ciao ciao
P.S.: Io sono arrivato alla frutta... me ne vado a casa, grazie e ciao ciao
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