Somma di una serie

[ukemux]

Sto cercando di calcolare la somma di questa serie (è un piccolo passaggio di un grande esercizio sulla Z-trasformata)
$\sum_{n=0}^{+\infty} n^2(\frac{1}{z^2})^n$
Ho ragionato così: se non ci fosse il fattore $n^2$ il risultato sarebbe $\frac{z^2}{z^2-1}$, allora prendo tale risultato, lo derivo e moltiplico per $-z$, reitero una seconda volta perché è al quadrato ed ottengo

$4\frac{z^4+z^2}{(z^2-1)^2}$

Mi sentirei abbastanza tranquillo se Wolfram Alpha non mi suggerisse quest'altro risultato, che differisce solo del fattore 4.
Voi che ne pensate?



Grazie mille in anticipo

[garnak.olegovitc1]

"ukemux":
Mi sentirei abbastanza tranquillo se Wolfram Alpha non mi suggerisse quest'altro risultato, che differisce solo del fattore 4.
Voi che ne pensate?

che non riesco a vedere l'immagine, più piccola potevi caricarla.. (usa la funzione "Aggiungi immagine" del pannello..)

[ukemux]

Scusa non mi ero reso conto, aggiornato

[ciampax]

Per prima cosa, sostituisco $1/z^2=t$ per comodità di scrittura. Ora, dal momento che la serie parte da $n=0$ abbiamo
$$\sum_{n=0}^{+\infty} n^2 t^n=\sum_{n=1}^{+\infty} n^2 t^n=t\sum_{n=1}^{+\infty} n^2 t^{n-1}=t\cdot D\left[\sum_{n=1}^{+\infty} n t^{n}\right]=t\cdot D\left[t\sum_{n=1}^{+\infty} n t^{n-1}\right]=\\ t\cdot D\left\{t\cdot D\left[\sum_{n=1}^{+\infty} t^{n}\right]\right\}=t\cdot D\left\{t\cdot D\left[\sum_{n=0}^{+\infty} t^{n}-1\right]\right\}=t\cdot D\left\{t\cdot D\left[\frac{1}{1-t}-1\right]\right\}=\\ t\cdot D\left\{t\cdot D\left[\frac{t}{1-t}\right]\right\}=t\cdot D\left\{t\cdot\frac{1}{(1-t)^2}\right\}=t\cdot\frac{1+t}{(1-t)^3}$$
e quindi ricordando la posizione fatta
$$\frac{1}{z^2}\cdot\frac{z^2+1}{z^2}\cdot\frac{z^6}{(z^2-1)^3}=\frac{z^2(z^2+1)}{(z^2-1)^3}$$