Somma di serie geometrica con n=1
Ciao a tutti,
sto facendo un esercizio che vede la dimostrazione della convergenza di una serie del tipo $\sum_{n=1}^infty (5^(n-2))/(2^(3n))$; ho dimostrato che converge con il criterio del confronto ma ho difficoltà nel calcolarvi la somma con $\lim_{n \to \infty}(5^(n-2))/(2^(3n))$ in quanto non riesco togliere la forma indeterminata.
Applicando de l'Hopital ottengo $\lim_{n \to \infty}(5^(n-2)ln5)/(2^(3n)ln2)$ che è comunque indeterminata e, nel riapplicarlo nuovamente, ottengo, in sostanza, sempre l'indeterminazione...come posso fare per calcolarlo? Forse sono io che sbaglio con de l'Hopital?
Grazie a tutti!
sto facendo un esercizio che vede la dimostrazione della convergenza di una serie del tipo $\sum_{n=1}^infty (5^(n-2))/(2^(3n))$; ho dimostrato che converge con il criterio del confronto ma ho difficoltà nel calcolarvi la somma con $\lim_{n \to \infty}(5^(n-2))/(2^(3n))$ in quanto non riesco togliere la forma indeterminata.
Applicando de l'Hopital ottengo $\lim_{n \to \infty}(5^(n-2)ln5)/(2^(3n)ln2)$ che è comunque indeterminata e, nel riapplicarlo nuovamente, ottengo, in sostanza, sempre l'indeterminazione...come posso fare per calcolarlo? Forse sono io che sbaglio con de l'Hopital?
Grazie a tutti!
Risposte
È quasi una serie geometrica...
Come posso ridurla ad una serie geometrica?
Tira fuori $5^{-2}$.
Fatto...quindi ora posso prendere in considerazione solo $(2^(3n^2))$, giusto?
Per le proprietà delle serie se $h<1$ la serie converge e la somma è $1/(1-h)$, mentre se $h>=1$ la serie diverge...2 è $>=1$, quindi la mia serie, a questo punto, diverge! ...E' giusto?
Per le proprietà delle serie se $h<1$ la serie converge e la somma è $1/(1-h)$, mentre se $h>=1$ la serie diverge...2 è $>=1$, quindi la mia serie, a questo punto, diverge! ...E' giusto?
E da dove hai tirato fuori $2^{3n^2}$???
...oddio in effetti rileggendo i calcoli ho scritto una boiata pazzesca! 
...chiedo scusa...non mi è chiaro questo passaggio...come posso tirar fuori $5^-2$?
...chiedo scusa...non mi è chiaro questo passaggio...come posso tirar fuori $5^-2$?
$5^{n-2}/2^{3n}=5^{-2}5^n/8^n=...$
dannazione mi ero lasciato sfuggire le proprietà delle potenze! ...grazie mille per la dritta Luca...comunque ora posso considerare solo $(5/8)^n$ vero? ...Riprendendo la proprietà di prima ho il termine $h<1$ e la serie è ora convergente..quindi la somma è $1/(1-5/8)$ che, alla fin fine, viene $8/3*1/25$, ossia $8/75$! ...E' corretto?
Attento alla fregatura: la somma parte da $n=1$, la formula per la somma che hai usato, corretta, è per le serie geometriche che partono da $n=0$.
Quindi il mio procedimento non è applicabile alla serie in questione...a questo punto mi calcolo l limite di $5^-2(5/8)^n$?
No, basta che osservi che $\sum_{n=0}^{+\infty}q^n=1+\sum_{n=1}^{+\infty}q^n$ da cui...
Basta sommare $1$ alla mia serie in modo che renda adatto il procedimento per la somma...dico bene?
Sì, ma fai per bene, c'è un fattore che moltiplica la serie nel tuo caso.
Sisi...infatti stavo per domandarti questo ulteriore chiarimento...svolgo quindi $(1/1+1/25)*8/3$?
Hai $1/{25}\sum_{n=1}^{+\infty}(5/8)^n=1/{25}(\sum_{n=0}^{+\infty}(5/8)^n-1)=...$
Ah...non sapevo dovessi impostare l'equazione...comunque da quest'equazione capisco che dovrei sottrarre $1$ ad $8/3$ a questo punto...
sì...
La somma della serie è $5/3$! ...wow Luca grazie mille per il supporto che mi hai dato...da questo scambio ho capito molte cose! ...Già che ci sono modifico anche il titolo del topic...abbiamo avuto poco a che fare con i limiti in questo caso! 
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