Somma di serie di potenze
Salve a tutti,
mi sto imbattendo in serie di potenze e ancora, oltre ai dubbi già risolti (grazie anche alla mano di maxsiviero), non riesco a capire se c'è un metodo o comunque un qualche criterio che mi aiuti alla risoluzione del calcolo della somma di serie di potenze.
Capisco che è intuitivo, ma negli appunti del prof. non viene fatto nessun riferimento alla somma delle serie di potenze. Forse perché troppo facili, boh.
Ad ogni modo, so che da regolamento dovrei porre il mio ragionamento iniziale, ma non ne ho alcuno se non quello di fare come nelle serie numeriche, e cioé per sostituzione.
Cioè impiegherei molto tempo.
Ho letto nel forum che alcune volte le derivate o gli integrali possono trovarsi utili, ma come riesco ad applicarli almeno nel mio caso?
La serie data (per cui bisogna trovare la somma) è: $\sum_{n=1}^infty 2^(2n+1)/3^n(1/4 x - 1)^n$.
Grazie ancora della pazienza,
Francesco
PS Ho già trovato l'insieme di convergenza e sono riuscito a cavarmela.
mi sto imbattendo in serie di potenze e ancora, oltre ai dubbi già risolti (grazie anche alla mano di maxsiviero), non riesco a capire se c'è un metodo o comunque un qualche criterio che mi aiuti alla risoluzione del calcolo della somma di serie di potenze.
Capisco che è intuitivo, ma negli appunti del prof. non viene fatto nessun riferimento alla somma delle serie di potenze. Forse perché troppo facili, boh.
Ad ogni modo, so che da regolamento dovrei porre il mio ragionamento iniziale, ma non ne ho alcuno se non quello di fare come nelle serie numeriche, e cioé per sostituzione.
Cioè impiegherei molto tempo.Ho letto nel forum che alcune volte le derivate o gli integrali possono trovarsi utili, ma come riesco ad applicarli almeno nel mio caso?
La serie data (per cui bisogna trovare la somma) è: $\sum_{n=1}^infty 2^(2n+1)/3^n(1/4 x - 1)^n$.
Grazie ancora della pazienza,
Francesco
PS Ho già trovato l'insieme di convergenza e sono riuscito a cavarmela.
Risposte
Ti puoi ricondurre ad una serie geometrica osservando che il termine generale della serie può essere riscritto come \( 2 y^n\), con \( y = \frac{2^2}{3}\left(\frac{x}{4}-1\right)\).
Ma una volta che so che è geometrica, cosa faccio?
Cioè, devo comunque calcolarmi la somma come facevo normalmente? Perché io con le serie numeriche la facevo praticamente sostituendo con un po' di intuito...
Cioè, devo comunque calcolarmi la somma come facevo normalmente? Perché io con le serie numeriche la facevo praticamente sostituendo con un po' di intuito...
Beh, la somma di una serie geometrica la dovresti conoscere: se \( |y| < 1\), la serie \( \sum_{n=0}^{\infty} y^n\) converge (assolutamente) a \( \frac{1}{1-y} \).
Troppo studio fa male, altroché.
Hai pienamente ragione. Non riesco a vedere nemmeno le cose facili.
Hai pienamente ragione. Non riesco a vedere nemmeno le cose facili.
Sono sempre io.
Non riesco a trovarmi con il risultato.
Sostanzialmente, abbiamo:
$1/(1-y) = 1/(1-4/3(x/4-1))$. Con i vari passaggi, trovo: $3/(7-x)$.
Quindi ho trovato la convergenza (assoluta). Ancora però, non mi è molto chiaro come trovare la somma della serie.
E' un discorso che non avevo molto chiaro nemmeno quando facevo le serie numeriche.
Non riesco a trovarmi con il risultato.
Sostanzialmente, abbiamo:
$1/(1-y) = 1/(1-4/3(x/4-1))$. Con i vari passaggi, trovo: $3/(7-x)$.
Quindi ho trovato la convergenza (assoluta). Ancora però, non mi è molto chiaro come trovare la somma della serie.
E' un discorso che non avevo molto chiaro nemmeno quando facevo le serie numeriche.
Devi tenere conto che la tua somma parte da \( n=1\), non da \( n = 0\).
E quindi significa che la mia serie ha somma pari a $(1-y^(n+1))/(1-y)$? E del 2 che avevamo messo fuori dalla serie?
Ok, ho risolto da solo. Devo dire che gli appunti del mio prof, sul calcolo della somma non erano tanto chiarificanti, parlandone anche con i miei amici.
Grazie mille per l'aiuto ad ogni modo.
Ho risolto così (giusto per la cronaca e se in futuro servirà a qualcun altro):
$2 (1/(1-y) -1)$.
Grazie ancora.
Grazie mille per l'aiuto ad ogni modo.
Ho risolto così (giusto per la cronaca e se in futuro servirà a qualcun altro):
$2 (1/(1-y) -1)$.
Grazie ancora.
Se la serie geometrica classica (quella che parte da $n=0$) ha somma $\frac{1}{1-y}$ per trovare la somma della tua che parte da $n=1$ devi sottrarre il primo addendo della somma. Qual è il primo addendo? Ricordati poi che avevi portato fuori dalla somma $1/2$ e non $2$. Inoltre quando arriverai al risultato ricorda di imporre la condizione necessaria affinché quella serie geometrica sia convergente.
EDIT mi sono sbagliato, era un $2$ quello portato fuori dalla somma.
EDIT mi sono sbagliato, era un $2$ quello portato fuori dalla somma.
"maxsiviero":
Qual è il primo addendo?
$a_0$?
Nel nostro caso 1, insomma.
Sì scusa, ho scritto il post senza vedere che avevi già risolto.
Tranquillo!
Grazie anche a te.
Grazie anche a te.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo