Somma di serie di potenze

[Sk_Anonymous]

Trovare la somma della serie così definita:

$\sum_{n=0}^{+\infty}(n+3)x^n$

Allora, dopo aver osservato che il raggio di convergenza è 1, ho ragionato così:

$\sum_{n=0}^{+\infty}(n+3)x^n=\frac{1}{x^2}*\sum_{n=0}^{+\infty}(n+3)x^(n+2)=\frac{1}{x^2}*\frac{d}{dx}(x^3*\frac{1}{1-x})$

Il mio ragionamento è corretto o presenta qualche magagna?
Grazie in anticipo per l'aiuto

[Sk_Anonymous]

Mi rispondo da solo
L'esercizio è corretto (me l'ha confermato una persona più che attendibile).

Ora vi pongo una domanda più specifica. Ho le seguenti serie di potenze:

$S=\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n*\frac{x^n}{n*(n-2)!}$
$S'=\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n*\frac{x^(n-1)}{(n-2)!}$

Chiaramente $S'$ è la derivata di $S$. Ora la somma di $S'$ è $xe^(-x)$. Devo calcolare la somma di $S$ nel punto $x=2$. Come mai l'esercizio suggerisce di notare che $\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n*\frac{2^n}{n*(n-2)!}=0+\int_{0}^{2}xe^(-x)dx=...$ ?

[gugo82]

"matths87":Mi rispondo da solo
L'esercizio è corretto (me l'ha confermato una persona più che attendibile).

Ora vi pongo una domanda più specifica. Ho le seguenti serie di potenze:

$S=\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n*\frac{x^n}{n*(n-2)!}$
$S'=\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n*\frac{x^(n-1)}{(n-2)!}$

Chiaramente $S'$ è la derivata di $S$. Ora la somma di $S'$ è $xe^(-x)$. Devo calcolare la somma di $S$ nel punto $x=2$. Come mai l'esercizio suggerisce di notare che $\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n*\frac{2^n}{n*(n-2)!}=0+\int_{0}^{2}xe^(-x)dx=...$ ?

Tieni presente il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e l'uguaglianza si spiega da sola.