Somma di serie
Salve a tutti....Sto studiando le serie e non riesco a capire come calcolare la somma di quelle serie che convergono. Ad esempio:
$\sum_{n=1}^oo 4^n/(n+1)*(1-x)^n$
Ho trovato che la serie converge per $x in (3/4,5/4]$
Ma ora come faccio a calcolarne la somma? Non riesco proprio a capire come svolgere questo genere di esercizi....
Grazie mille...
$\sum_{n=1}^oo 4^n/(n+1)*(1-x)^n$
Ho trovato che la serie converge per $x in (3/4,5/4]$
Ma ora come faccio a calcolarne la somma? Non riesco proprio a capire come svolgere questo genere di esercizi....
Grazie mille...
Risposte
Ti puoi ricondurre facilmente alla derivata della serie geometrica.
La derivata della serie geometrica?? Scusa, ma non capisco in che senso.....
Comincia con una sostituzione: $4(1-x)=t$.
Ottengo quindi $\sum_{n=1}^oo t^n/(n+1)$. Ora che faccio? Se scrivo $\sum_{n=1}^oo t^n * \sum_{n=1}^oo 1/(n+1)$, la prima serie è la serie geometrica, ma la seconda non dovrebbe divergere...o.O?
In genere in questi esercizi bisogna sfruttare il teorema di derivazione termine a termine.
Ogni addendo è la derivata di una certa cosa (cosa?), riconoscila, porta le derivate fuori (lo puoi fare? ci sono le ipotesi?), somma la serie (che è la serie geometrica, e quindi lo sai fare), e poi deriva il risultato. Chiaro?
Ogni addendo è la derivata di una certa cosa (cosa?), riconoscila, porta le derivate fuori (lo puoi fare? ci sono le ipotesi?), somma la serie (che è la serie geometrica, e quindi lo sai fare), e poi deriva il risultato. Chiaro?
"melli13":
Ottengo quindi $\sum_{n=1}^oo t^n/(n+1)$. Ora che faccio? Se scrivo $\sum_{n=1}^oo t^n * \sum_{n=1}^oo 1/(n+1)$, la prima serie è la serie geometrica, ma la seconda non dovrebbe divergere...o.O?
Non puoi scomporre una serie di un prodotto in un prodotto di serie!
$sum_{n=0}^{+infty} (t^n)/(n+1) = 1/t sum_{n=0}^{+infty} (t^(n+1))/(n+1) = 1/t sum_{n=0}^{+infty} int_{0}^{t} y^n dy$
Fino a qui è chiaro?
Io questo teorema non lo trovo sul libro.....
Allora la serie sarebbe questa: $t/2+t^2/3+t^3/4+.....$
Quindi ogni addendo è la derivata di $t^2/4+t^3/9+t^4/16....$ e generalizzando $t^n/n^2$
E cosa porto fuori....? Non capisco....
Allora la serie sarebbe questa: $t/2+t^2/3+t^3/4+.....$
Quindi ogni addendo è la derivata di $t^2/4+t^3/9+t^4/16....$ e generalizzando $t^n/n^2$
E cosa porto fuori....? Non capisco....
@robbstark: Ah non posso scomporre una serie di un prodotto in un prodotto di serie? Non lo sapevo...
Si...fin lì è chiarissimo...
Si...fin lì è chiarissimo...
Ora continuo così?
$1/t \int_0^t (\sum_{n=1}^oo y^n) dy$ = $1/t \int_0^t ((y-y^(n+1))/(1-y)) dy$
Ma quell'integrale mi sembra un po' difficilotto da risolvere....
$1/t \int_0^t (\sum_{n=1}^oo y^n) dy$ = $1/t \int_0^t ((y-y^(n+1))/(1-y)) dy$
Ma quell'integrale mi sembra un po' difficilotto da risolvere....
Non è vero che $sum_(n=1)^(+oo) y^n = (y-y^(n+1))/(1-y)$
"melli13":
@robbstark: Ah non posso scomporre una serie di un prodotto in un prodotto di serie?
E' facile convincersi perchè la somma di due prodotti non è uguale al prodotto delle somme: [tex]ab+cd \ne (a+c)(b+d)[/tex].
"Gi8":
Non è vero che $sum_(n=1)^(+oo) y^n = (y-y^(n+1))/(1-y)$
Infatti $sum_(n=1)^(N) y^n = (1-y^(N+1))/(1-y)$, se $|y| < 1$.
Quindi $sum_(n=1)^(+infty) y^n = ?$
Una volta risolto questo, ci sarebbe da spiegare perchè è legittimo scambiare la serie con l'integrale, come detto da Gaal Dornick.
Ah si..mi sono confusa..dovrebbe essere..... $sum_{n=1}^oo y^n = 1/(1-y)$
Allora $1/t \int_0^t (\sum_{n=1}^oo y^n) dy$=$1/t \int_0^t (1/(1-y)) dy$ = $1/t(-log(1-t)+log(1))= -log(1-t)/t = -log(1-4(1-x))/(4(1-x))=-log(4x-4)/(4(1-x))$
Va bene...??
Allora $1/t \int_0^t (\sum_{n=1}^oo y^n) dy$=$1/t \int_0^t (1/(1-y)) dy$ = $1/t(-log(1-t)+log(1))= -log(1-t)/t = -log(1-4(1-x))/(4(1-x))=-log(4x-4)/(4(1-x))$
Va bene...
??
@robbstark: Grazie di avermelo fatto notare!!! Sono proprio una sciocca... 
"robbstark":Non proprio. Occhio, la sommatoria parte da $1$
Infatti $sum_(n=1)^(N) y^n = (1-y^(N+1))/(1-y)$, se $|y| < 1$.
@melli13: vale anche per te: non è vero che $sum_(n=1)^(+oo) y^n = 1/(1-y)$
L'uguaglianza corretta è $sum_(n=0)^(+oo) y^n = 1/(1-y)$. Naturalmente a patto che $|y|<1$
Quindi $sum_{n=1}^oo y^n = 1/(1-y)-1$?
Ok ragazzi....il risultato mi viene....vi ringrazio davvero tanto!!!
Scusate se torno di nuovo a scrivere....Ho fatto vari esercizi con questo metodo e mi vengono...ora però mi sono bloccata con questo:
$\sum_{n=1}^oo (x^n+n*3^n)/4^n$
Ho visto che converge per $|x|<4$ e ora non so calcolarne la somma però....La mia idea sarebbe dividere la serie così:
$\sum_{n=1}^oo (x/4)^n$+$\sum_{n=1}^oo n*(3/4)^n$ e calcolare la somma separatamente e poi sommarla....andrebbe bene?
Il primo pezzo viene $x/(4-x)$, ma il secondo non riesco a calcolarlo....
$\sum_{n=1}^oo (x^n+n*3^n)/4^n$
Ho visto che converge per $|x|<4$ e ora non so calcolarne la somma però....La mia idea sarebbe dividere la serie così:
$\sum_{n=1}^oo (x/4)^n$+$\sum_{n=1}^oo n*(3/4)^n$ e calcolare la somma separatamente e poi sommarla....andrebbe bene?
Il primo pezzo viene $x/(4-x)$, ma il secondo non riesco a calcolarlo....
Se riesci a calcolare $sum_{n=1}^{+infty} n x^n$ (dove converge), poi ti basterà porre $x=3/4$.
Ma come lo calcolo? Non riesco ad applicarci su il metodo dll'integrale....
Prova con la derivata.
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