Somma di serie.
Salve a tutti, sto affrontando un argomento nuovo circa le serie.
Nell'esercizio mi viene data tale serie:
$\sum_{n=8}^oo(1/(n^2+13n+42)) $
Da quanto ho capito, per sommare le serie devo ricondurle a una serie nota, magari a una o più serie diverse, guardare la loro convergenza, la ragione e la serie converge alla somma delle serie ottenute.
Non son molto sicuro, di questo ragionamento ma è quello che ho capito.
In questa serie però mi viene chiesto: " usando la definizione dire se la serie converge e calcolarne la somma"
Dunque con criterio del confronto ho ottenuto un maggiorante e un minorante il maggiorante è la serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1, quindi converge.
Ora però non so come scomporre la serie per calcolarne la somma, qualcuno mi può dare suggerimenti, consigli correzioni etc.?
Ringrazio in anticipo.
Nell'esercizio mi viene data tale serie:
$\sum_{n=8}^oo(1/(n^2+13n+42)) $
Da quanto ho capito, per sommare le serie devo ricondurle a una serie nota, magari a una o più serie diverse, guardare la loro convergenza, la ragione e la serie converge alla somma delle serie ottenute.
Non son molto sicuro, di questo ragionamento ma è quello che ho capito.
In questa serie però mi viene chiesto: " usando la definizione dire se la serie converge e calcolarne la somma"
Dunque con criterio del confronto ho ottenuto un maggiorante e un minorante il maggiorante è la serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1, quindi converge.
Ora però non so come scomporre la serie per calcolarne la somma, qualcuno mi può dare suggerimenti, consigli correzioni etc.?
Ringrazio in anticipo.
Risposte
Prova a scrivere il termine generale come $A/(n + a) + B/(n + b)$, per ricondurti al caso di una serie telescopica...
So che la domanda è banale se non da ignorante, ma come lo ottengo il termine generale da mettere in quella forma?
dovrebbe essere 1/n^2?
dovrebbe essere 1/n^2?
La tecnica è la stessa che si usa per determinare la decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale.
Dato che \(n^2+13n +42 =(n+6)(n+7)\) dovrai determinare le costanti \(A,B\) in modo che:
\[
\frac{1}{n^2+13n+42} =\frac{A}{n+6} +\frac{B}{n+7}\; .
\]
Dato che \(n^2+13n +42 =(n+6)(n+7)\) dovrai determinare le costanti \(A,B\) in modo che:
\[
\frac{1}{n^2+13n+42} =\frac{A}{n+6} +\frac{B}{n+7}\; .
\]
per quello che ne so io, la tua serie per $ n rarr +oo $ si riduce a $ 1/n^2 $ percui serie armonica convergente.
@clacla87: quello che dici è corretto: $1/(n^2+13n+42) < 1/n^2$, dunque la serie converge.
Ma possiamo anche dire con precisione il valore a cui converge la serie. Sei in grado di trovarlo?
(devi seguire i consigli di Seneca e gugo82)
Ma possiamo anche dire con precisione il valore a cui converge la serie. Sei in grado di trovarlo?
(devi seguire i consigli di Seneca e gugo82)
so che bisogna calcolare il limite di n che tende a + infinito della somma parziale o ridotta...ma nn so ricavarmi questa somma parziale.. 
@clacla87: Odio citarmi, ma hai provato a fare innanzitutto questi calcoli?
"gugo82":
La tecnica è la stessa che si usa per determinare la decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale.
Dato che \(n^2+13n +42 =(n+6)(n+7)\) dovrai determinare le costanti \(A,B\) in modo che:
\[
\frac{1}{n^2+13n+42} =\frac{A}{n+6} +\frac{B}{n+7}\; .
\]
ok scusa.... 
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