Somma di serie
Ciao, mi è capitato questo esercizio di preparazione all'esame, viene chiesto di studiare la convergenza e trovare la somma della serie
$\sum_{n=1}^\infty (x^(2n))/(n!)$
Allora, per la convergenza ho agito così:
$\lim_{n \to \infty}(1/((n+1)!))/(1/(n!))$ = $\lim_{n \to \infty}(n!)/((n+1)!$ = 0
Quindi R= $1/L$ = $\infty$
Quindi converge su tutto $RR$
Per la somma ho posto y= $x^2$ $rArr$ $\sum_{n=1}^\infty (y^n)/(n!)$ = $e^y$ $rArr$ $\sum_{n=1}^\infty (x^(2n))/(n!)$ = $e^(x^2)$
Non so se ho fatto giusto o sbagliato, potete aiutarmi? Grazie infinite
$\sum_{n=1}^\infty (x^(2n))/(n!)$
Allora, per la convergenza ho agito così:
$\lim_{n \to \infty}(1/((n+1)!))/(1/(n!))$ = $\lim_{n \to \infty}(n!)/((n+1)!$ = 0
Quindi R= $1/L$ = $\infty$
Quindi converge su tutto $RR$
Per la somma ho posto y= $x^2$ $rArr$ $\sum_{n=1}^\infty (y^n)/(n!)$ = $e^y$ $rArr$ $\sum_{n=1}^\infty (x^(2n))/(n!)$ = $e^(x^2)$
Non so se ho fatto giusto o sbagliato, potete aiutarmi? Grazie infinite
Risposte
le note in rosso sono mie:
(*) Nota che la serie parte da $n=1$ e non da $n=0$. Poco male, puoi risolvere tranquillamente:
$\sum_{n=0}^\infty y^n/(n!) = e^y => 1+\sum_{n=1}^\infty y^n/(n!) = e^y => \sum_{n=1}^\infty y^n/(n!) = e^y-1$
Lo stesso ragionamento lo devi applicare al tuo caso
"djmattm":
Ciao, mi è capitato questo esercizio di preparazione all'esame, viene chiesto di studiare la convergenza e trovare la somma della serie
$\sum_{n=1}^\infty (x^(2n))/(n!)$
Allora, per la convergenza ho agito così:
$\lim_{n \to \infty}(1/((n+1)!))/(1/(n!))$ = $\lim_{n \to \infty}(n!)/((n+1)!$ = 0
Quindi R= $1/L$ = $\infty$ (questa scrittura non mi piace molto, questione di gusti):lol:
Quindi converge su tutto $RR$
Per la somma ho posto y= $x^2$ $rArr$ $\sum_{n=1}^\infty (y^n)/(n!)$ = $e^y$ (*)$rArr$ $\sum_{n=1}^\infty (x^(2n))/(n!)$ = $e^(x^2)$
Non so se ho fatto giusto o sbagliato, potete aiutarmi? Grazie infinite
(*) Nota che la serie parte da $n=1$ e non da $n=0$. Poco male, puoi risolvere tranquillamente:
$\sum_{n=0}^\infty y^n/(n!) = e^y => 1+\sum_{n=1}^\infty y^n/(n!) = e^y => \sum_{n=1}^\infty y^n/(n!) = e^y-1$
Lo stesso ragionamento lo devi applicare al tuo caso
Grazie della risposta, chiarissimo, quindi poichè la mia serie parte da 1 e non da 0 devo sottrarre 1, quindi è giusto se viene così?
$\sum_{n=1}^\infty (x^(2n))/(n!)$ = $e^(x^2)-1$
grazie mille!
$\sum_{n=1}^\infty (x^(2n))/(n!)$ = $e^(x^2)-1$
grazie mille!
Sì è esatto! Una cosa importante: hai capito perchè ho sottratto proprio 1?
penso di si, perchè ponendo n=0 risulta $(x^(2n))/(n!)$ = 1
giusto?
giusto?
Sì sì, è esatto 
. pensavo di essermi espresso male e quindi averti portato fuori strada 
. pensavo di essermi espresso male e quindi averti portato fuori strada
No no limpido come l'acqua mai capito così bene le serie! Grazie mille!
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