Somma di serie
Ciao a tutti! ho un grosso problema con la somma di serie, ho capito come si fa per n da 0 a infinito, ma mi sono bloccata su questo esercizio (scusate tanto se non lo scrivo in linguaggio matematico, ma non riesco a scaricarlo...):
allora è la serie con n da 0 a +infinito di [ (x^2 - 2x) fratto (x - 1) ] ^n
io ho trovato che converge per (1- radice di 5)/2 < x < (3 - radice di 5)/2 unito a (1 + radice di 5)/2 < x < (3 + radice di 5)/2
(sempre che sia giusto...) il problema è che adesso mi chiede di calcolare la SOMMA e non so proprio da dove partire...
grazie in anticipo, scusate ancora per la scrittura...
allora è la serie con n da 0 a +infinito di [ (x^2 - 2x) fratto (x - 1) ] ^n
io ho trovato che converge per (1- radice di 5)/2 < x < (3 - radice di 5)/2 unito a (1 + radice di 5)/2 < x < (3 + radice di 5)/2
(sempre che sia giusto...) il problema è che adesso mi chiede di calcolare la SOMMA e non so proprio da dove partire...
grazie in anticipo, scusate ancora per la scrittura...
Risposte
ciao!
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Per quanto riguarda il tuo problema, ricordati la formula per la somma della serie geometrica.
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Per quanto riguarda il tuo problema, ricordati la formula per la somma della serie geometrica.
Se sostituisci $q=(x^2-2x)/(x-1)$, la tua serie diventa una serie geometrica di ragione $q$; se sai calcolare la somma $S(q)$ della serie geometrica, la somma della tua serie di partenza la trovi facendo la sostituzione "a ritoso" ed essa si scrive come $S((x^2-2x)/(x-1))$.
scusate...sono proprio alle prime armi...l'unica formula che conosco per la serie geometrica è che diverge se q >= 1 e converge a 1/(1-q) se -1 < q < 1... è questa o ce ne sono altre?
poi diciamo che ho capito come si fa a calcolare la somma di una serie telescopica, ma di quella geometrica so solo capire se converge o diverge, ma non qual è il passaggio per arrivare alla somma...
(ps: io uso un Mac e il linguaggio non mi si installa...)
poi diciamo che ho capito come si fa a calcolare la somma di una serie telescopica, ma di quella geometrica so solo capire se converge o diverge, ma non qual è il passaggio per arrivare alla somma...
(ps: io uso un Mac e il linguaggio non mi si installa...)
Ma, scusa, l'hai appena detta la somma della serie geometrica... E non solo, hai pure specificato dove è definita!
ma come? è la stessa cosa? perchè il professore mi chiede: determinate per quali x diversi da 1 la serie converge e calcolatene la somma... così io pensavo che si trattasse di due cose differenti...
Ok, riprendo il discorso daccapo, forse non sono riuscito a spiegarmi.
Hai $\sum_(n=0)^(+oo) [(x^2-2x)/(x-1)]^n$.
Evidentemente le tue funzioni sono definite per $x!=1$, ossia in $A:=RR\setminus \{1\}$; ora vuoi determinare una parte $X\subseteq A$ in cui la serie converga.
Procedi così: innanzitutto noti che, operando la sostituzione $q=(x^2-2x)/(x-1)$, puoi ricondurre la tua serie alla serie geometrica $\sum_(n=0)^(+oo) q^n$, la quale converge se e solo se $-1
$-1<(x^2-2x)/(x-1)<1 \quad \Leftrightarrow \quad \{((x^2-2x)/(x-1)> -1),((x^2-2x)/(x-1)<1):} \quad \Leftrightarrow \quad \{ ((x^2-x-1)/(x-1)>0),((x^2-3x+1)/(x-1)<0):}$
ossia (salvo errori di calcolo) se e solo se $(1-\sqrt(5))/2
$f(x):=S((x^2-2x)/(x-1))=1/(1-(x^2-2x)/(x-1))=(x-1)/(-x^2+3x-1)=(1-x)/(x^2-3x+1)$.
Ricapitolando, la tua serie converge in $X:=](1-\sqrt(5))/2,(3-\sqrt(5))/2[\cup ](1+\sqrt(5))/2,(3+\sqrt(5))/2[$ verso $f(x)=(1-x)/(x^2-3x+1)$.
Il tutto salvo errori di calcolo; lascio a te controllare tutti i passaggi.
Hai $\sum_(n=0)^(+oo) [(x^2-2x)/(x-1)]^n$.
Evidentemente le tue funzioni sono definite per $x!=1$, ossia in $A:=RR\setminus \{1\}$; ora vuoi determinare una parte $X\subseteq A$ in cui la serie converga.
Procedi così: innanzitutto noti che, operando la sostituzione $q=(x^2-2x)/(x-1)$, puoi ricondurre la tua serie alla serie geometrica $\sum_(n=0)^(+oo) q^n$, la quale converge se e solo se $-1
$-1<(x^2-2x)/(x-1)<1 \quad \Leftrightarrow \quad \{((x^2-2x)/(x-1)> -1),((x^2-2x)/(x-1)<1):} \quad \Leftrightarrow \quad \{ ((x^2-x-1)/(x-1)>0),((x^2-3x+1)/(x-1)<0):}$
ossia (salvo errori di calcolo) se e solo se $(1-\sqrt(5))/2
$f(x):=S((x^2-2x)/(x-1))=1/(1-(x^2-2x)/(x-1))=(x-1)/(-x^2+3x-1)=(1-x)/(x^2-3x+1)$.
Ricapitolando, la tua serie converge in $X:=](1-\sqrt(5))/2,(3-\sqrt(5))/2[\cup ](1+\sqrt(5))/2,(3+\sqrt(5))/2[$ verso $f(x)=(1-x)/(x^2-3x+1)$.
Il tutto salvo errori di calcolo; lascio a te controllare tutti i passaggi.
ok! tutto chiarissimo!!! grazie mille di avermi scritto tutto il procedimento...ora ho capito 
grazie davvero!!!
grazie davvero!!!
Prego. 
P.S.: I conti erano sbagliati... Ho dovuto correggere!
Per quanto riguarda l'insieme di convergenza, il risultato giusto era quello da te scritto nel primo post.
P.S.: I conti erano sbagliati... Ho dovuto correggere!
Per quanto riguarda l'insieme di convergenza, il risultato giusto era quello da te scritto nel primo post.
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