Somma di residui per infiniti poli semplici

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Salve a tutti, avrei bisogno di un suggerimento per completare un vecchio esercizio d'esame del mio corso di Analisi Complessa. Mi rendo conto che non manchi molto alla fine della dimostrazione, ma posto soprattutto per verificare di non aver lasciato troppe lacune e "sfondoni" nello svolgimento Il testo dell'esercizio in questione è:

Siano $Q_N$ il perimetro del quadrato con vertici in $(N+1/2)(1+i)$, $(N+1/2)(-1+i)$, $(N+1/2)(1-i)$, $(N+1/2)(-1-i)$ orientato positivamente, $f(z)$ una funzione meromorfa su $\mathbb{C}$ con un numero finito di poli e olomorfa nei punti $z=n \in \mathbb{Z}$.

Sapendo che $|f(z)|\leq \frac{M}{|z|^\alpha}$ con $\alpha >1$ e $M>0$, e $|cot(\pi z)|\leq K$ per $z \in Q_N$ con $K>0$ indipendente da $N$, dimostrare che $sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(n) = -\kappa$, dove $\kappa$ è la somma dei residui di $g(z)=\pi f(z) cot(\pi z)$ nei poli di $f(z)$.

Sappiamo che la serie $sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(n)$ converge per la prima diseguaglianza riportata.
$cot(\pi z)=\frac{cos(\pi z)}{sin(\pi z)}$ ha un polo semplice in ogni $z=n \in \mathbb{Z}$, dove $f(z)$ è olomorfa.
I poli di $g(z)$ saranno quindi quelli di $f(z)$ e quelli di $cot(\pi z)$.
Inoltre $Res_{z=n} g(z) = lim_(z\rightarrow n) g(z)(z-n) = lim_(z\rightarrow n) \pi f(z) \frac{cos(\pi z) (z-n)}{sin(\pi z)} =$
$= \pi f(z) lim_(z\rightarrow n) \frac{\pi sin(\pi z) (z-n) + cos(\pi z)}{\pi cos(\pi z)} = \pi f(z) 1/{\pi} = f(z)$ (usando De l'Hôpital).

Mi rimarrebbe dunque solamente da dimostrare che la somma di tutti i residui di $g(z)$ (nei poli di $f(z)$ e in ogni $n$ intero) sia nulla (usando la diseguaglianza sulla cotangente?) e avrei così provato l'uguaglianza.
Ho dimenticato qualcosa di importante? Grazie in anticipo

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Aggiornamento: ho sfruttato il cammino chiuso $Q_N$ suggerito per integrare $g(z)$, e ho verificato che per $N \rightarrow +\infty$ questo integrale tende a zero, ma è sufficiente per dire che anche la somma di tutti i residui di $g(z)$ sia nulla?
Il teorema dei residui ci è stato enunciato solamente per una quantità finita di singolarità isolate, ma in questo caso i poli sono infiniti e non racchiusi in una regione limitata... Non sono sicuro sul come giustificare formalmente quest'ultimo passaggio (integrale nullo $rArr$ somma residui nulla)

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...Up?
Periodo un po' sfortunato per postare immagino

Riassumo la questione così: si può estendere il teorema dei residui al "caso limite" $\lim_{N->\infty} \oint_{Q_N} g(z) dz = 2\pi i \sum_{n\in\mathbb{Z}} Res_{z=n} g(z)$ (se non in generale, almeno in questo caso)?

[Antimius]

Sì, perché stai semplicemente passando al limite sulla somma $\sum_{k=-n}^n f(n)$ che hai già dimostrato che converge.