Somma di ramanujan

[Nebula2]

non riesco a far vedere che la somma di ramanujan $c_n(m):=sum_h e(frac(hm)(n))$ con $1 geq h geq n, (h,n)=1, e(x):=e^{2 pi ix}$ è moltiplicativa come funzione di $n$.

mi manca di dimostrare che $sum_h sum_{h'} e(frac{m(hn'+h'n)}{n n'})=c_n(m)c_{n'}(m)$,

con $1 geq h geq n, (h,n)=1, 1 geq h' geq n', (h',n')=1$.

suggerimenti?

[gugo82]

"Nebula":non riesco a far vedere che la somma di ramanujan $c_n(m):=sum_h e(frac(hm)(n))$ con $1 geq h geq n, (h,n)=1, e(x):=e^{2 pi ix}$ è moltiplicativa come funzione di $n$.

mi manca di dimostrare che $sum_h sum_{h'} e(frac{m(hn'+h'n)}{n n'})=c_n(m)c_{n'}(m)$,

con $1 geq h geq n, (h,n)=1, 1 geq h' geq n', (h',n')=1$.

suggerimenti?

Proprietà dell'esponenziale e proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma?

[Nebula2]

"gugo82":
Proprietà dell'esponenziale e proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma?

scusa, ho sbagliato io, quello che non riesco a dimostrare è che

$sum_h sum_{h'} e(frac{m(hn'+h'n)}{n n'})=c_{n n'}(m)$

[gugo82]

"Nebula":
scusa, ho sbagliato io, quello che non riesco a dimostrare è che

$sum_h sum_{h'} e(frac{m(hn'+h'n)}{n n'})=c_{n n'}(m)$

Quindi ti manca far vedere che al variare di $h,h'$ come prescritto dalle due formule per $c_n(m)$ e $c_(n') (m)$ il numero $hn+h'n'$ descrive tutti i naturali minori e coprimi di $n n'$... Probabilmente si tratta di fare due conti, non la vedo difficile.

[Nebula2]

risolto.
basta porre nella definizione (tra l'altro penso in maniera più corretta, correggetemi se sbaglio) che $h in ZZ_n, (h,n)=1$.