Somma di questa serie di funzioni
Ciao a tutti! Stamattina ho fatto il compito di Analisi 2, vi scrivo il testo di questo esercizio, la cui soluzione non mi può pace >.>
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty ((lnx)^(n+2))/(n+2)$
Il testo chiedeva 3 punti:
1)Determinare l'intervallo di convergenza
2)Scrivere la $f(x)$ in forma esplicita
3)Verificare che $lim_(x->e^(-1)) e^(f(x))(e-x)=1$
Sul primo punto nessuna difficoltà particolare, la serie converge in $[1/e, e[$
2)
Il secondo punto è quello cruciale. Ho proseguito così:
posto $lnx$=t risulta $f(x)=\sum_{n=0}^\infty (x^(n+2))/(n+2)$
Allora ho cercato di ricondurmi allo sviluppo del logaritmo, cioè $ln(1-x)=-\sum_{n=0}^\infty (t^(n+1))/(n+1)$
Ma la mia serie parte dal secondo termine. Allora ho ragionato così:
$ln(1-x)= -x -x^2/2-x^3/3-x^4/4....=-\sum_{n=0}^\infty (x^(n+1))/(n+1)$
E poichè il primo termine della mia serie è $-x^2/2$ ho aggiunto la x ad entrambi i membri, e diventa:
$ln(1-x)+x=-x^2/2-x^3/3-x^4/4....=-\sum_{n=0}^\infty (x^(n+2))/(n+2)$ Che è la mia serie di partenza. Quindi ho:
$ln(1-t)+t=-\sum_{n=0}^\infty (t^(n+2))/(n+2) iff \sum_{n=0}^\infty (t^(n+2))/(n+2)=-ln(1-t)-t
Quindi $\sum_{n=0}^\infty ((lnx)^(n+2))/(n+2)=-ln(1-lnx)-lnx$
3)
Qui i nodi vengono al pettine. Nel senso che il limite non mi risulta! Infatti ho:
$lim_(x->e^(-1)) e^(f(x))(e-x)=lim_(x->e^(-1)) e^(-ln(1-lnx)-lnx)(e-x)=e^(-ln2+1)((e^2-1)/e)=e^(ln(1/2))e((e^2-1)/e)=1/2e((e^2-1)/e)=(e^2-1)/2
Che evidentemente non è 1! Che cosa ho sbagliato? Pure Derive mi da ragione T___T
Sto iniziando a pensare che abbia sbagliato a copiare il testo...oppure sbaglia il prof o.0
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty ((lnx)^(n+2))/(n+2)$
Il testo chiedeva 3 punti:
1)Determinare l'intervallo di convergenza
2)Scrivere la $f(x)$ in forma esplicita
3)Verificare che $lim_(x->e^(-1)) e^(f(x))(e-x)=1$
Sul primo punto nessuna difficoltà particolare, la serie converge in $[1/e, e[$
2)
Il secondo punto è quello cruciale. Ho proseguito così:
posto $lnx$=t risulta $f(x)=\sum_{n=0}^\infty (x^(n+2))/(n+2)$
Allora ho cercato di ricondurmi allo sviluppo del logaritmo, cioè $ln(1-x)=-\sum_{n=0}^\infty (t^(n+1))/(n+1)$
Ma la mia serie parte dal secondo termine. Allora ho ragionato così:
$ln(1-x)= -x -x^2/2-x^3/3-x^4/4....=-\sum_{n=0}^\infty (x^(n+1))/(n+1)$
E poichè il primo termine della mia serie è $-x^2/2$ ho aggiunto la x ad entrambi i membri, e diventa:
$ln(1-x)+x=-x^2/2-x^3/3-x^4/4....=-\sum_{n=0}^\infty (x^(n+2))/(n+2)$ Che è la mia serie di partenza. Quindi ho:
$ln(1-t)+t=-\sum_{n=0}^\infty (t^(n+2))/(n+2) iff \sum_{n=0}^\infty (t^(n+2))/(n+2)=-ln(1-t)-t
Quindi $\sum_{n=0}^\infty ((lnx)^(n+2))/(n+2)=-ln(1-lnx)-lnx$
3)
Qui i nodi vengono al pettine. Nel senso che il limite non mi risulta! Infatti ho:
$lim_(x->e^(-1)) e^(f(x))(e-x)=lim_(x->e^(-1)) e^(-ln(1-lnx)-lnx)(e-x)=e^(-ln2+1)((e^2-1)/e)=e^(ln(1/2))e((e^2-1)/e)=1/2e((e^2-1)/e)=(e^2-1)/2
Che evidentemente non è 1! Che cosa ho sbagliato? Pure Derive mi da ragione T___T
Sto iniziando a pensare che abbia sbagliato a copiare il testo...oppure sbaglia il prof o.0
Risposte
Dunque, ponendo $t=\ln x$ ottieni la nuova serie $f(t)=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^{n+2}}{n+2}=\sum_{n=2}^\infty\frac{t^n}{n}$.
Ora, essendo $\ln(1+t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}\ t^n}{n}$, hai pure $\ln(1-t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{2n-1}\ t^n}{n}=-\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n}$, da cui per la tua serie $f(t)=\sum_{n=2}^\infty\frac{t^n}{n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n}-t=-(\ln(1-t)+t)$, e fino a qui mi pare vada tutto bene.
Ora $f(x)=-\ln(x)-\ln[1-\ln x]$ e quindi il limite
$\lim_{x\rightarrow 1/e} e^{-\ln(x)-\ln[1-\ln x]}(e-x)=\lim_{x\rightarrow 1/e}\frac{e-x}{x(1-\ln x)}=\frac{e^2-1}{2}$
Io credo che tu abbia semplicemente letto male la traccia. Come vedi questo limite non è una forma indeterminata, mentre credo che l'idea del compito fosse quella di farti calcolare il limite per $x\rightarrow e^{-}$, cioè il limite sinistro! In tal caso hai una fomra indeterminata del tipo $0/0$ che puoi risolvere facilmente ponendo $t=e-x$, per cui
$\lim_{x\rightarrow e^{-}}\frac{e-x}{x(1-\ln x)}=\lim_{t\rightarrow 0^+}\frac{t}{(e-t)(1-\ln(e-t))}=\frac{1}{e}\lim_{t\rightarrow 0^+}\frac{1}{1/{e-t}}=1$
dove nell'ultimo passaggio ho applicato de l'Hopital.
Ora, essendo $\ln(1+t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}\ t^n}{n}$, hai pure $\ln(1-t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{2n-1}\ t^n}{n}=-\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n}$, da cui per la tua serie $f(t)=\sum_{n=2}^\infty\frac{t^n}{n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n}-t=-(\ln(1-t)+t)$, e fino a qui mi pare vada tutto bene.
Ora $f(x)=-\ln(x)-\ln[1-\ln x]$ e quindi il limite
$\lim_{x\rightarrow 1/e} e^{-\ln(x)-\ln[1-\ln x]}(e-x)=\lim_{x\rightarrow 1/e}\frac{e-x}{x(1-\ln x)}=\frac{e^2-1}{2}$
Io credo che tu abbia semplicemente letto male la traccia. Come vedi questo limite non è una forma indeterminata, mentre credo che l'idea del compito fosse quella di farti calcolare il limite per $x\rightarrow e^{-}$, cioè il limite sinistro! In tal caso hai una fomra indeterminata del tipo $0/0$ che puoi risolvere facilmente ponendo $t=e-x$, per cui
$\lim_{x\rightarrow e^{-}}\frac{e-x}{x(1-\ln x)}=\lim_{t\rightarrow 0^+}\frac{t}{(e-t)(1-\ln(e-t))}=\frac{1}{e}\lim_{t\rightarrow 0^+}\frac{1}{1/{e-t}}=1$
dove nell'ultimo passaggio ho applicato de l'Hopital.
Probabilmente è così. Che palle, non lo passerò per questo errore di distrazione idiota -.-
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