Somma di intervallini.
Buonasera,
dovrei dimostrare una cosa abbastanza ovvia, ma che purtroppo non riesco.
Sia $I$ un intervallo limitato, considero due suddivisioni $D, D'$ di $I$, con $D'$ più fina di $D$.
Considero l'unione di tutti dei sotto intervalli di $I$ relativi a $D$, cioè
Invece in modo analogo, si definisce la suddivisione il plurintervallo relativo a $D'$, cioè
Quindi dovrei far vedere che
Non saprei da dove cominciare, ho provato ad usare la seguente relazione (ahimè ancora non l'ho dimostrata) inerente alla somma dei plurintervalli, cioè,
Ciao.
dovrei dimostrare una cosa abbastanza ovvia, ma che purtroppo non riesco.
Sia $I$ un intervallo limitato, considero due suddivisioni $D, D'$ di $I$, con $D'$ più fina di $D$.
Considero l'unione di tutti dei sotto intervalli di $I$ relativi a $D$, cioè
$P=bigcup_(k=1)^N I_k$
dove $P$ si intende il plurintervallo.Invece in modo analogo, si definisce la suddivisione il plurintervallo relativo a $D'$, cioè
$P'=bigcup_(k=1)^(N^{\prime}) I'_k.$
La somma è data da $m(P)=sum_(k=1)^N m(I_k).$
Quindi dovrei far vedere che
$m(P)=sum_(k=1)^N m(I_k)=sum_(k=1)^(N') m(I'_k)=m(P').$
Non saprei da dove cominciare, ho provato ad usare la seguente relazione (ahimè ancora non l'ho dimostrata) inerente alla somma dei plurintervalli, cioè,
$m(I_1 cup I_2)=m(I_1)+m(I_2)-m(I_1 cap I_2)$
a prescindere dal fatto che non sono arrivato a conlusioni, mi sembra troppa laboriosa, o sbaglio a fare i calcoli, oppure, deve andare cosi Ciao.
Risposte
Scusa, ma se $I sub RR$ è un intervallo limitato, allora $m(P) = m(I) = text(sup) I - text(inf) I$.
P.S.: Si dice “fine”, non “fina”.
P.S.: Si dice “fine”, non “fina”.
"gugo82":
Scusa, ma se $I sub RR$ è un intervallo limitato, allora $m(P) = m(I) = text(sup) I - text(inf) I$.
Non escludo il fatto che la dimostrazione che riporto,sia sbagliata, ma la mia l'idea di base è questa, cioè:
Sia $D$ una suddivisione di $I$, e sia $D'$ un'altra suddivisione di $I$, suppongo che per ogni intervallino della suddivisione $D'$, sia del tipo $I'_k=I_k/H$.
$m(P')=sum_(k=1)^(N')I'_k=sum_(k=1)^(HN)I'_k=H(sum_(k=1)^NI'_k)=H/H(sum_(k=1)^N I_k)=m(P)$.
E' sbagliata ?
"gugo82":oramai sono andato
P.S.: Si dice “fine”, non “fina”.
Lavora su un esempio, piuttosto di metterti in casi particolari in cui introduci ipotesi di troppo.
Sia $I sub RR$ intervallo limitato,inoltre, si ha per definizione che la misura di $I$
Sia $D$ suddivisione di $I$ tale che $I= I_1 cup I_2$, la suddivisione $D$ divide l'intervallo in due parti uguali, quindi, sia $c$ il punto intermedio, allora:
Sia ora $D'$ una suddivisione piu fitta rispetto a $D$, ad esempio tipo $I=I'_1 cup I'_2 cup I'_3 cup I'_4$,inoltre $I_1=I'_1 cup I'_2.$
In questo caso si ha
Fin quì bene ?
$m(I)=b-a$.
Sia $D$ suddivisione di $I$ tale che $I= I_1 cup I_2$, la suddivisione $D$ divide l'intervallo in due parti uguali, quindi, sia $c$ il punto intermedio, allora:
$sum_(k=1)^(2) m(I_k)=m(I_1)+m(I_2)=(c-a)+(b-c)=b-a=m(I).$
Sia ora $D'$ una suddivisione piu fitta rispetto a $D$, ad esempio tipo $I=I'_1 cup I'_2 cup I'_3 cup I'_4$,inoltre $I_1=I'_1 cup I'_2.$
In questo caso si ha
$sum_(k=1)^4 m(I'_k)=sum_(k=1)^2 m(I'_k)+m(I'_(k+1))=sum_(k=1)^2 m(I_k)=m(I)$
Fin quì bene ?
Dipende… Definisci “più fitta” (o “più fine”, che dir tu voglia).
Inoltre, chi sono $a$ e $b$?
Inoltre, chi sono $a$ e $b$?
"gugo82":
Dipende… Definisci “più fitta” (o “più fine”, che dir tu voglia).
Per suddivisione $D'$ più fitta rispetto alla suddivisione $D$, intendo dire: $D subset D'$ cioè $D'$ contiene almeno un punto in più rispetto a $D$, per punto intendo, un generico punto $x_i in D'$.
"gugo82":
Inoltre, chi sono $a$ e $b$?
Sono l'estremo superiore e inferiore di $I$
Buongiorno gugo82
Comunque, rileggendo la definizione, mi sono accorto che i sottointervalli $I_k$ non hanno punti interni in comune, cioè
Riprendendo il caso in esame, potrei considerare una suddivisione $D'$ piu fitta rispetto a $D$, cioè $D'$ costituita da $N'$ intervallini e $D$ costituita da $N$ intervallini, con $N'>N$, dove la differenza è data $Q=N'-N$.
Per semplicità, presi due intervellini relativi a $D'$ si abbia $I'_1 cup I'_2 = I_1$, quindi
l'ho spezzata giusto per essere più chiaro
Comunque, rileggendo la definizione, mi sono accorto che i sottointervalli $I_k$ non hanno punti interni in comune, cioè
$I_k cap I_(k+1)= \emptyset.$
Inoltre dal momento che vale questa relazione $m(I_1)+m(I_2)=m(I_1 cup I_2)+m(I_1 cap I_2)$
allora in particolare risulta $m(I_1)+m(I_2)=m(I_1 cup I_2).$
Riprendendo il caso in esame, potrei considerare una suddivisione $D'$ piu fitta rispetto a $D$, cioè $D'$ costituita da $N'$ intervallini e $D$ costituita da $N$ intervallini, con $N'>N$, dove la differenza è data $Q=N'-N$.
Per semplicità, presi due intervellini relativi a $D'$ si abbia $I'_1 cup I'_2 = I_1$, quindi
$sum_(k=1)^(N')m(I'_k)=sum_(k=1)^(N) m_1(I'_k)+m_2(I'_(k+1))+...+m_(Q-1)(I'_(k+Q-1))+m_Q(I'_(k+Q))=...$
l'ho spezzata giusto per essere più chiaro
$...=sum_(k=1)^N m(I'_k cup I'_(k+1) cup ... cupI'_(k+Q-1) cupI'_(k+Q))=sum_(k=1)^Nm(I_k).$
Immagino che una suddivisione $D$ di $I=[a,b]$ sia un insieme finito ed ordinato di punti di $I$ che contiene almeno i due estremi $a$ e $b$, ossia un insieme del tipo $D:=\{ a=x_0 < x_1 < \cdots
Ora, se questo è il setting, non hai nulla da dimostrare: infatti per ogni suddivisione $D$, la somma delle ampiezze degli intervalli i determinati dai punti di $D$ uguaglia l’ampiezza dell’intervallo $[a,b]$; dunque la relazione di finezza non c’entra un tubo.
Sei sicuro che ciò di cui parliamo sia proprio ciò che ti serve dimostrare?
Ora, se questo è il setting, non hai nulla da dimostrare: infatti per ogni suddivisione $D$, la somma delle ampiezze degli intervalli i determinati dai punti di $D$ uguaglia l’ampiezza dell’intervallo $[a,b]$; dunque la relazione di finezza non c’entra un tubo.
Sei sicuro che ciò di cui parliamo sia proprio ciò che ti serve dimostrare?
"gugo82":
Sei sicuro che ciò di cui parliamo sia proprio ciò che ti serve dimostrare?
Pag. 101 della dispensa.
https://www.docenti.unina.it/webdocenti-be/allegati/materiale-didattico/34075453
Allora hai proprio sbagliato ad impostare tutto lo OP.
A che ti servono $I$ e le decomposizioni $D$?
A niente, perché un pluriintervallo $P$, per essere individuato non ha bisogno di nessun intervallo fisso $I$ né di alcuna decomposizione $D$.
Si chiama pluriintervallo ogni insieme $P sub RR$ che è unione di un numero finito di intervalli $I_1, …, I_N$ limitati ed a due a due privi di punti interni in comune.
Quello che vuoi dimostrare, se non capisco male, è che se $ uu_(n=1)^N I_n = P = uu_(m=1)^M J_m$, allora la somma delle misure degli $I_n$ coincide con quella delle misure dei $J_m$, ossia (come si dice in gergo) che la misura di un pluriintervallo non dipende dalla sua rappresentazione come unione di intervalli.
Come puoi ragionare?
A che ti servono $I$ e le decomposizioni $D$?
A niente, perché un pluriintervallo $P$, per essere individuato non ha bisogno di nessun intervallo fisso $I$ né di alcuna decomposizione $D$.
Si chiama pluriintervallo ogni insieme $P sub RR$ che è unione di un numero finito di intervalli $I_1, …, I_N$ limitati ed a due a due privi di punti interni in comune.
Quello che vuoi dimostrare, se non capisco male, è che se $ uu_(n=1)^N I_n = P = uu_(m=1)^M J_m$, allora la somma delle misure degli $I_n$ coincide con quella delle misure dei $J_m$, ossia (come si dice in gergo) che la misura di un pluriintervallo non dipende dalla sua rappresentazione come unione di intervalli.
Come puoi ragionare?
"gugo82":
Quello che vuoi dimostrare, se non capisco male, è che se $ uu_(n=1)^N I_n = P = uu_(m=1)^M J_m$, allora la somma delle misure degli $I_n$ coincide con quella delle misure dei $J_m$, ossia (come si dice in gergo) che la misura di un pluriintervallo non dipende dalla sua rappresentazione come unione di intervalli.
Si esattamente
"gugo82":
Come puoi ragionare?
Come ho fatto nel messaggio precedente.
"galles90":
[quote="gugo82"] Come puoi ragionare?
Come ho fatto nel messaggio precedente.[/quote]
Visto che le decomposizioni $D$, come detto, non c’entrano un granché, o ne fai a meno o le tiri in ballo con un discorso costruito bene.
Altrimenti quella dimostrazione lì non significa nulla.
Riporto la definizione di suddivisione di un intervallo limitato.
Sia $I subb RR$ limitato, del tipo $[a,b]$ con $a
Se considero una suddivisione $D'$ più fitta rispetto a $D$ inoltre considerando la prima 1) ottengo:
essendo che vale la relazione
ottengo
Forse ci sono ?
Sia $I subb RR$ limitato, del tipo $[a,b]$ con $a
1) $I=bigcup_(k=1)^NI_k$
2) $I_k cap I_(k+1)= emptyset$
2) $I_k cap I_(k+1)= emptyset$
Se considero una suddivisione $D'$ più fitta rispetto a $D$ inoltre considerando la prima 1) ottengo:
$I=bigcup_(k=1)^NI_k=bigcup_(k=1)^MI'_k$
essendo che vale la relazione
$sum_(k=1)^2 m(I_k)=m(I_1)+m(I_2)=m(I_1 cup I_2)$
ottengo
$m(I)=sum_(k=1)^N m(I_k)=sum_(k=1)^Mm(I'_k)$
Forse ci sono ?
Questo funziona, e può essere uno step per la dimostrazione che vuoi completare e che coinvolge i pluriintervalli (che non sono necessariamente intervalli).
Io pensavo che fosse finita 
... quale parte è rimasta per concludere ?
... quale parte è rimasta per concludere ?
La definizione non è totalmente corretta, seppur gli errori siano accettabili per un corso di teoria della misura.
Vedo almeno 2 errori. Il primo è che non hai imposto che gli intervalli siano ordinati. Quindi considerare la sola intersezione tra indici consecutivi non è abbastanza. Nota comunque che i punti 1 e 2 sono impliciti nel fatto che la famiglia è una partizione. D'altra parte, rimane il secondo errore: una partizione di un chiuso formata da sottospazi chiusi è possibile solo se il chiuso è disconnesso. Quindi, se vuoi che ogni intervallo sia chiuso, devi lasciare stare il concetto insiemistico di partizione e supporre che:
1) \(\displaystyle I=\bigcup_{k=1}^{N}I_k \)
2) \(\displaystyle I_k^{\mathrm{o}} \cap I_{k+1}^{\mathrm{o}} = \emptyset \)
3) \(\displaystyle I_k \cap I_{s} = \emptyset \) per \(k\neq s\pm 1\)
Vedo almeno 2 errori. Il primo è che non hai imposto che gli intervalli siano ordinati. Quindi considerare la sola intersezione tra indici consecutivi non è abbastanza. Nota comunque che i punti 1 e 2 sono impliciti nel fatto che la famiglia è una partizione. D'altra parte, rimane il secondo errore: una partizione di un chiuso formata da sottospazi chiusi è possibile solo se il chiuso è disconnesso. Quindi, se vuoi che ogni intervallo sia chiuso, devi lasciare stare il concetto insiemistico di partizione e supporre che:
1) \(\displaystyle I=\bigcup_{k=1}^{N}I_k \)
2) \(\displaystyle I_k^{\mathrm{o}} \cap I_{k+1}^{\mathrm{o}} = \emptyset \)
3) \(\displaystyle I_k \cap I_{s} = \emptyset \) per \(k\neq s\pm 1\)
Sono andato a guardare la definizione del professore ed è corretta. Quindi cerca solo di stare più attento quando cerchi di riscrivere le cose in modo più formale.
Detto questo non è molto chiaro cosa intenda con plurintervallo, la semplice unione di un numero finito di intervalli chiusi?
Detto questo non è molto chiaro cosa intenda con plurintervallo, la semplice unione di un numero finito di intervalli chiusi?
"vict85":
Detto questo non è molto chiaro cosa intenda con plurintervallo, la semplice unione di un numero finito di intervalli chiusi?
Sì.
Ciao vict85
Si, per pluriintervallo intendo l'unione di un numero finito di intervalli, tipo
Cercherò di essere più chiaro la prossima volta
"vict85":
Detto questo non è molto chiaro cosa intenda con plurintervallo, la semplice unione di un numero finito di intervalli chiusi?
Si, per pluriintervallo intendo l'unione di un numero finito di intervalli, tipo
$I=[a,x_0[ cup [x_0,x_1[ cup ... cup [x_(n-1),b].$
"vict85":
Sono andato a guardare la definizione del professore ed è corretta. Quindi cerca solo di stare più attento quando cerchi di riscrivere le cose in modo più formale.
Cercherò di essere più chiaro la prossima volta
"galles90":
[quote="vict85"]Detto questo non è molto chiaro cosa intenda con plurintervallo, la semplice unione di un numero finito di intervalli chiusi?
Si, per pluriintervallo intendo l'unione di un numero finito di intervalli, tipo
$I=[a,x_0[ cup [x_0,x_1[ cup ... cup [x_(n-1),b].$
[/quote]La definizione non dice questo.
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