Somma di intervallini.

[galles90]

Buonasera,
dovrei dimostrare una cosa abbastanza ovvia, ma che purtroppo non riesco.
Sia $I$ un intervallo limitato, considero due suddivisioni $D, D'$ di $I$, con $D'$ più fina di $D$.

Considero l'unione di tutti dei sotto intervalli di $I$ relativi a $D$, cioè

$P=bigcup_(k=1)^N I_k$

dove $P$ si intende il plurintervallo.
Invece in modo analogo, si definisce la suddivisione il plurintervallo relativo a $D'$, cioè

$P'=bigcup_(k=1)^(N^{\prime}) I'_k.$

La somma è data da

$m(P)=sum_(k=1)^N m(I_k).$

Quindi dovrei far vedere che

$m(P)=sum_(k=1)^N m(I_k)=sum_(k=1)^(N') m(I'_k)=m(P').$

Non saprei da dove cominciare, ho provato ad usare la seguente relazione (ahimè ancora non l'ho dimostrata) inerente alla somma dei plurintervalli, cioè,

$m(I_1 cup I_2)=m(I_1)+m(I_2)-m(I_1 cap I_2)$

a prescindere dal fatto che non sono arrivato a conlusioni, mi sembra troppa laboriosa, o sbaglio a fare i calcoli, oppure, deve andare cosi

Ciao.

[galles90]

gugo82, nella prima pagina del linkk che ho postato viene definito cosi, cioè come l'unione di un numero finito di intervalli limitati a due a due privi di punti interni comuni.

[vict85]

Il professore suppone che siano tutti intervalli chiusi, ovvero del tipo \([a, x_0]\) (il punto è che la misura dell'intersezione è nulla).
Detto questo, il professore non suppone che si abbia \(P = I\) per qualche intervallo chiuso \(I\). Quindi, se ho capito bene, \([1,2]\cup [3,25]\) è un plurintervallo secondo la sua definizione.

[gugo82]

Non necessariamente consecutivi, però…

Se non leggi con attenzione, non vai da nessuna parte.

@vict: Uà… Centesimi di secondo, proprio!

[galles90]

"gugo82": Non necessariamente consecutivi, però…

Caspita è vero !
Quindi se aggiungiamo che gli intervelli devono essere presi consecutivi, per consecutivi si vuol dire, se non ho frainteso, $text(sup)(I_(k-1))=text(inf)(I_k)$.
Quello che ho detto perchè non basta ?

[gugo82]

Un pluriintervallo non è necessariamente formato da intervalli consecutivi, quindi quello che hai dimostrato non ti basta.

Come completi la dimostrazione?


P.S.: Fatti un disegno.

[galles90]

Riprendendo dalla mia ultima dimostrazione, con le dovute correzioni, si ha:

1) $P=bigcup_(k=1)^NI_k$
2) $I_k cap I_(k+1)= emptyset$

Siano $D_1$ e $D_2$ due suddivisioni di $I$ quinidi considerando la prima 1) ottengo:

$P=bigcup_(k=1)^NI_k=bigcup_(k=1)^MI'_k$

Considero la suddivisione $D_3=D_1 cup D_2$ la quale risulta più fitta di entrambe, ottengo sempre per la 1)

$P= bigcup_(k=1)^(N')J_k$

essendo che vale

$sum_(k=1)^2 m(I_k)=m(I_1)+m(I_2)=m(I_1 cup I_2)$

allora

$m(P)=sum_(k=1)^(N')m(J_k)=sum_(k=1)^Nm(I_k)$

[gugo82]

Cos’è $I$?

[galles90]

E' un intervallo limitato di $RR$.

[gugo82]

Scelto così, a casaccio?
Nelle prime righe:

"galles90":Riprendendo dalla mia ultima dimostrazione, con le dovute correzioni, si ha:

1) $ P=bigcup_(k=1)^NI_k $
2) $ I_k cap I_(k+1)= emptyset $

Siano $ D_1 $ e $ D_2 $ due suddivisioni di $ I $ […]

non vi è traccia di tale $I$, quindi o lo introduci correttamente (spiegando perché serve e come lo scegli in rapporto agli altri insiemi) o ne fai a meno.

[vict85]

Tra l'altro hai copiato le due righe che ti avevo spiegato essere sbagliate. Il punto due deve richiedere che l'INTERNO di ogni intervallo abbia intersezione vuota con ogni altro intervallo (questa volta preso nella sua interezza). Quindi hai bisogno di due indici.

In realtà potresti scrivere \(P\) come unione di una famiglia disgiunta di intervalli chiusi, ma questa decomposizione è unica (topologicamente è la decomposizione di \(P\) nelle sue componenti connesse) e comunque non è quella che interessa al tuo professore.

[galles90]

Sulla dispensa si parla di un intervallo $I$ limitato di estremi $a,b$.
Questi sono $I_1, I_2, I_3,...,I_n$ sotto intervalli di $I$?
Perchè nella definizione si considera $n$ intervalli limitati a due a due privi di punti interni comune, ma non si dice se sono sottointervalli di $I$, dunque, o è sottointesa come cosa oppure, sono generici intervalli di $RR$.

[gugo82]

"galles90":Sulla dispensa si parla di un intervallo $I$ limitato di estremi $a,b$.
Questi sono $I_1, I_2, I_3,...,I_n$ sotto intervalli di $I$?

No.

E la domanda mostra che non hai capito proprio il senso di quello che hai letto.
Rileggi con più attenzione: dove sta scritto che ogni sotto insieme che consideri deve essere contenuto in un dato intervallo $I$?

[galles90]

"gugo82":
Rileggi con più attenzione: dove sta scritto che ogni sotto insieme che consideri deve essere contenuto in un dato intervallo $ I $?

Da nessuna parte.

Definzione
Si definisce un plurintervallo $P sub RR$ l'insieme costituito dall'unione di intervalli limitati a due a due privi di punti interni in comune, e lo si indica

$P=bigcup_(k=1)^N I_k$

Adesso quello che devo far vedere:

$P=bigcup_(k=1)^N I_k=bigcup_(k=1)^MJ_k to m(P)=sum_(k=1)^NI_k=sum_(k=1)^MJ_k.$

Io da questa proprietà

$m(A_1)+m(A_2)=m(A_1 cup A_2 )$

ottengo la tesi. Adesso vorrei capire dove sta l'errore, perchè francamente, non so come fare.

"vict85":Tra l'altro hai copiato le due righe che ti avevo spiegato essere sbagliate. Il punto due deve richiedere che l'INTERNO di ogni intervallo abbia intersezione vuota con ogni altro intervallo (questa volta preso nella sua interezza). Quindi hai bisogno di due indici.

Si vict85, ho presa quella sulla dispensa.

[gugo82]

"galles90":[quote="gugo82"]
Rileggi con più attenzione: dove sta scritto che ogni sotto insieme che consideri deve essere contenuto in un dato intervallo $ I $?

Da nessuna parte. [/quote]
E allora perché continui ad usarlo?
Questo è un errore: usare oggetti quando non ve ne è alcun bisogno.

L’altro errore è che o non ottieni la tesi, o non sai spiegare bene come l’hai ottenuta/pensi di ottenerla.
Mettiti in testa che una dimostrazione è una sorta di “bolla d’accompagnamento” che deve convincere chi la legge della validità sua e del teorema cui si riferisce. Se una dimostrazione non fa questo lavoro, semplicemente o non è una dimostrazione o è del tutto inutile.

Io avrei scritto qualcosa di simile:

Consideriamo due famiglie di intervalli $\{I_n = (a_n , b_n) \}_{ n =1, …, N}$ e $\{ J_m = (alpha_m , beta_m) \}_(m =1,…, M)$ limitati ed a due a due privi di punti interni comuni tali che $bigcup_(n =1)^N I_n =P= bigcup_(m = 1)^M J_m$.
Vogliamo provare che risulta $sum_(n=1)^N text(m) (I_n) = sum_(m=1)^M text(m) (J_m)$.

Cominciamo supponendo che $P$ sia un intervallo limitato della retta reale.
In tal caso la famiglia $\{I_n \}$ può essere riordinata in modo che $a_1=text(inf) P$, $b_N = text(sup) P$ e che intervalli corrispondenti ad indici consecutivi risultino consecutivi, i.e. $b_n = text(sup) I_n = text(inf) I_(n+1) = a_(n+1)$ per $n=1, …,N-1$; ovviamente, lo stesso si può fare con la famiglia $\{J_m \}$. In quanto segue supporremo di aver fatto questo riordinamento (se serve) e continueremo a denotare con gli stessi nomi gli intervalli riordinati.
Dalla definizione di misura di un intervallo, segue $sum_(n=1)^N text(m) (I_n) = sum_(n=1)^N b_n - a_n = b_N - a_1 = text(m) (P)$ ed analogamente $sum_(m=1)^M text(m) (J_m) = sum_(m=1)^M beta_m - alpha_m = beta_M - alpha_1 = text(m) (P)$; dunque $sum_(n=1)^N text(m) (I_n) = sum_(m=1)^M text(m) (J_m)$ come volevamo.

Supponiamo, ora, che $P$ non sia un intervallo.
Introduciamo in $P$ la relazione:
\[
\forall x,y \in P,\quad x \mathcal{R} y\ \stackrel{\text{def.}}{\Leftrightarrow}\ \text{l’intervallo chiuso di estremi } x \text{ ed } y \text{ è contenuto in } P\; .
\]
La relazione ora definita è di equivalenza (verificalo!) e le classi di equivalenza da essa determinate in $P$ sono intervalli disgiunti (verificalo![nota]Potrebbe essere utile ricordare che gli intervalli di $RR$ sono tutti e soli gli insiemi $X$ caratterizzati dalla seguente proprietà di connessione:
\[
\forall x,y \in X,\quad \text{l’intervallo chiuso di estremi } x \text{ ed } y \text{ è contenuto in } X\;.
\][/nota]), che chiameremo $P_1, …, P_K$.
È semplice dimostrare (prova!) che per ogni intervallo $I_n$ esiste un unico $k=1, …, K$ tale che $I_n nn P_k != emptyset $, quindi la famiglia $\{ I_n\}$ viene suddivisa in $K$ sottofamiglie disgiunte $\{ I_n^((1))\}$, $\{ I_n^((2))\}$, …, $\{I_n^((K))\}$ di intervalli, ognuna delle quali è tale che $bigcup_n I_n^((k)) = P_k$.
Lo stesso ragionamento si può fare per la famiglia $\{ J_m\}$, la quale viene suddivisa in $K$ sottofamiglie disgiunte $\{ J_m^((1))\}$, $\{ J_m^((2))\}$, …, $\{J_m^((K))\}$ di intervalli, ognuna delle quali è tale che $bigcup_n J_m^((k)) = P_k$.
Allora, visto che i $P_k$ sono intervalli limitati della retta reale, per ogni $k=1, …, K$ risulta $sum_n text(m)(I_n^((k))) = sum_m text(m)(J_m^((k)))$ e perciò $sum_(n=1)^N text(m)(I_n) = sum_(k=1)^K sum_n text(m)(I_n^((k))) = sum_(k=1)^K sum_m text(m)(J_m^((k))) = sum_(m=1)^M text(m)(J_m)$ per proprietà associativa e commutativa della somma.

Poi vict85, che è più ferrato di me in materia, o altri che passano di qui ti sapranno dire se la dimostrazione che ho proposto va modificata o se si può abbreviare.

[galles90]

Grazie per la risposta gugo82, ti dico subito che non avrei mai pensato che fosse cosi lunga come dimostrazione.

"gugo82": E allora perché continui ad usarlo?

Nell'ultimo post non ne ho parlato.

"gugo82": L’altro errore è che o non ottieni la tesi, o non sai spiegare bene come l’hai ottenuta/pensi di ottenerla.

La mia idea, era quella di applicare questa proprietà

* $m(A_1)+m(A_2)=m(A_1 cup A_2)$

poi di procedere cosi
1) applicazione del principio di induzione alla proprietà *
2) considerare l'ipotesi fatta sul pluriintervallo

e concludere.

Comunque ora mi leggo con anttenzione la dimostrazione che mi hai proposto e vedo come va. Facendo una lettura veloce, perchè nella prima parte hai considerato $P$ come intervallo, non dovrebbe essere un plurintervallo ?

Ciao

[vict85]

"gugo82":Poi vict85, che è più ferrato di me in materia, o altri che passano di qui ti sapranno dire se la dimostrazione che ho proposto va modificata o se si può abbreviare.

Non esageriamo, non mi occupo neanche più di matematica. Comunque ho solo fatto riferimento a qualche concetto base di topologia. In particolare, uno spazio si dice connesso se non può essere scritto come unione di due chiusi (o aperti) disgiunti. Siccome \(P\) è un sottospazio chiuso, i chiusi di \(\mathbb{R}\) sono chiusi anche in \(P\).

Prima di tutto osserverei che vale il seguente:
Proposizione 1 Siano \(I = [a, b]\) e \(J = [c, d]\) due intervalli chiusi senza punti interni in comune, supponiamo inoltre che si abbia \(a \le c\). Allora \(b \le c\).

Ti invito a dimostrarlo. A questo punto sai che \(I\cap J = \emptyset\) oppure \(I\cap J = \{b\} = \{c\}\).

Proposizione 2 Siano \(I\) e \(J\) come nella proposizione precedente, allora la definizione \(m(I\cup J) = m(I) + m(J)\) è ben posta.

Dimostrazione: Nota che non esiste alcune definizione alternativa nel caso in cui \(I\cap J = \emptyset\), quindi non c'è nulla da dimostrare in quel caso. Quello che va controllato è che \(m(I) + m(J) = m(I\cup J) = m\bigl([a,d]\bigr)\) nel caso \(I\cap J = \{b\} = \{c\}\). Ma è abbastanza banale farlo, infatti \(m(I) + m(J) = b - a + d - c = d - a = m\bigl([a,d]\bigr) = m(I\cup J)\). \(\Box\)

Proposizione 3. Sia \(P = \bigcup_{k=1}^n I_k\) dove \(\mathcal{I} = \{I_k\}_{1\le k\le n}\) è una famiglia di intorni chiusi a due a due senza punti interni in comune. Allora \(m(P)\) rimane invariata se si sostituisce \(\mathcal{I} = \{I_k\}_{1\le k\le n}\) con una delle seguenti famiglie:
[list=1][*:2uaocvx6] la famiglia \(\displaystyle\mathcal{J} = \Bigl(\mathcal{I}\setminus \{ I_{k_1}, I_{k_2} \}\Bigr)\cup \{ I_{k_1} \cup I_{k_2} \}\) dove \(I_{k_1}, I_{k_2}\) sono tali che \(I_{k_1}\cap I_{k_2} \neq\emptyset\);[/*:m:2uaocvx6]
[*:2uaocvx6]la famiglia \(\displaystyle\mathcal{K} = \Bigl(\mathcal{I}\setminus \{ I_{k_1} \}\Bigr)\cup \{ [a,c], [c,b] \}\) dove \(I_{k_1} = [a,b]\) e \(\displaystyle a\le c\le b \).[/*:m:2uaocvx6][/list:o:2uaocvx6]

In altre parole, in \(\mathcal{J}\) tolgo una coppia di intervalli ad intersezione non vuota e la sostituisco con la loro unione, mentre in \(\mathcal{K}\) riscrivo uno degli intervalli come unione di altri due (che ovviamente si intersecano in un punto). Le due operazioni sono ovviamente operazioni inverse, e la dimostrazione è una banale applicazione della definizione di misura sul plurintervallo (o della Proposizione 2 se preferisci).

Per comodità scriverò che \(\mathcal{I}\preceq \mathcal{J}\) se \(\mathcal{I} = \mathcal{J}\) oppure se si può generare \(\mathcal{J}\) applicando un numero finito di volte l'operazione 1 della proposizione 3 alla famiglia \(\mathcal{I}\) (o equivalentemente se si può trovare \(\mathcal{I}\) applicando ripetutamente l'operazione 2 a \(\mathcal{J}\)).

Il punto focale per dimostrare il tuo teorema è la seguente proposizione:
Proposizione 3. Siano \(\mathcal{I}\) e \(\mathcal{J}\) due famiglie di intervalli chiusi a due a due senza punti interni in comune e che generano lo stesso plurintervallo \(P\), allora esiste una famiglia \(\mathcal{K}\), che genera \(P\), tale che \(\mathcal{K}\preceq \mathcal{I}\) e \(\mathcal{K}\preceq \mathcal{J}\).

In generale, queste famiglie generano un vero e proprio reticolo, ma la dimostrazione dell'esistenza dell'unione è più difficile e non serve per la dimostrazione.

Per la dimostrazione di 3, ti suggerisco di ragionare sul fatto che se \(a = \min P\) allora sia \(\mathcal{I}\) che \(\mathcal{J}\) possiedono un intervallo che parte da \(a\). Similmente per il massimo. Insomma, ordini le due famiglie e procedi un intervallo alla volta.