Somma di equazioni di secondo grado
Nel caso in cui io avessi:
$ sum_(x=1)^5z_x^2+z_x+a_x=0 $
potrei risolvere semplicemente $ z_1^2+z_1+a_1=0 $ e poi sommare la soluzione generalizzata?
sarebbe valida?
$ sum_(x=1)^5z_x^2+z_x+a_x=0 $
potrei risolvere semplicemente $ z_1^2+z_1+a_1=0 $ e poi sommare la soluzione generalizzata?
sarebbe valida?
Risposte
Se fosse vero, avendo
\[
x_1^2+x_2^2-2=0,\]
potresti concludere che le uniche soluzioni sono \(x_1=\pm 1\) e \(x_2=\pm 1\), ma non è vero, perché le soluzioni formano una circonferenza di raggio \(\sqrt 2\).
\[
x_1^2+x_2^2-2=0,\]
potresti concludere che le uniche soluzioni sono \(x_1=\pm 1\) e \(x_2=\pm 1\), ma non è vero, perché le soluzioni formano una circonferenza di raggio \(\sqrt 2\).
E come si potrebbe risolvere una siffatta relazione?
Da un'equazione in cinque incognite mi aspetto tante soluzioni.
In particolare, mi aspetto che una delle incognite si possa esprimere in funzione delle altre quattro, sotto opportune condizioni.
In particolare, mi aspetto che una delle incognite si possa esprimere in funzione delle altre quattro, sotto opportune condizioni.
"gugo82":
Da un'equazione in cinque incognite mi aspetto tante soluzioni.
In particolare, mi aspetto che una delle incognite si possa esprimere in funzione delle altre quattro, sotto opportune condizioni.
tipo?
Tipo fai i conti e vedi che viene fuori.
Se non riesci con cinque incognite, prova prima con due; poi generalizza.
Se non riesci con cinque incognite, prova prima con due; poi generalizza.
"gugo82":
Tipo fai i conti e vedi che viene fuori.
Se non riesci con cinque incognite, prova prima con due; poi generalizza.
Dato che a me interessa la somma delle soluzioni, se calcolassi le soluzioni di ogni equazione di secondo grado, la elevassi al quadrato, la sommassi con le altre soluzioni e poi, solo allora le ponessi sotto una unica radice? secondo te sarebbe valida?
seguendo il tuo esempio le soluzioni coincidono.
No.
Semplicemente perché non è vero che le soluzioni di quella roba lì sono solo le soluzioni delle cinque equazioni che dici.
Qual è il problema di partenza?
Perché non stai scrivendo tutto quel che serve per risolvertelo, immagino...
Semplicemente perché non è vero che le soluzioni di quella roba lì sono solo le soluzioni delle cinque equazioni che dici.
Qual è il problema di partenza?
Perché non stai scrivendo tutto quel che serve per risolvertelo, immagino...
"gugo82":
No.
Semplicemente perché non è vero che le soluzioni di quella roba lì sono solo le soluzioni delle cinque equazioni che dici.
Qual è il problema di partenza?
Perché non stai scrivendo tutto quel che serve per risolvertelo, immagino...
Ho una equazione che ho ridotto esattamente alla forma dell'equazione iniziale solo che invece di 5 ho n... ecco il problema
Facciamo il caso di tre incognite, tanto per capirci.
Insomma, chiamando le incognite $z_1,z_2,z_3$ abbiamo:
\[
(z_1^2 + z_1 + a_1) + (z_2^2 + z_2 + a_2) + (z_3^2 + z_3 + a_3) = 0\; ,
\]
la quale può essere pensata coma equazione nella sola incognita $z_3$: tale equazione è di secondo grado ed ha soluzioni reali solo se il suo discriminante è $Delta_3 >=0$. Imponendo $Delta_3 >=0$ si trova la condizione:
\[
1-4 \Big( a_3+ (z_1^2 + z_1 + a_1) + (z_2^2 + z_2 + a_2)\Big) \geq 0
\]
sotto la quale l'equazione riesce a definire la $z_3$ come funzione delle rimanenti due incognite attraverso la classica formula risolutiva dell'equazione di secondo grado:
\[
z_3 = \frac{-1\pm \sqrt{\Delta_3}}{2}\; .
\]
Il problema è stabilire se la condizione $Delta_3 >= 0$ individua una regione non vuota del piano $Oz_1z_2$; dato che essa si riscrive:
\[
4z_2^2 + 4z_2 + \Big(4a_2 -1+ 4a_3+ 4(z_1^2 + z_1 + a_1)\Big) \leq 0
\]
è evidente che la regione individuata dalla disequazione non è vuota solo se il discriminante $\Delta_2^\prime$ del polinomio al primo membro è $>=0$:
\[
4 - 4\Big(4a_2 -1+ 4a_3+ 4(z_1^2 + z_1 + a_1)\Big) \geq 0\; ;
\]
soddisfatta tale condizione, si ottiene:
\[
\underbrace{\frac{-2-\sqrt{\Delta_2^\prime}}{4}}_{=: \alpha(z_1)} \leq z_2\leq \underbrace{\frac{-2+\sqrt{\Delta_2^\prime}}{4}}_{=:\beta (z_1)}\; .
\]
La condizione $Delta_2^\prime >= 0$ è soddisfatta solo se il discriminante $Delta_1^{\prime \prime}$ del polinomio al primo membro è $>=0$ e ciò accade solo se $a_1+a_2+a_3<=3/4$ ed in tal caso ti fornisce $z_1$ in un certo intervallo chiuso (i cui estremi $x<=y$ dipendono da $a_1,a_2,a_3$ e te li calcoli da solo
).
Dunque, la tua equazione ha soluzioni date dai punti del tipo $(z_1,z_2, \frac{-1\pm \sqrt{\Delta_3}}{2})$ con $x<=z_1<=y$ e $alpha(z_1)<= z_2 <=beta(z_1)$.
Il procedimento per il calcolo delle soluzioni si generalizza, con difficoltà crescenti col numero di variabili, al caso generale.
Tuttavia, se ti interessa la somma delle soluzioni dell'equazione, essa è sempre $-1$.
Infatti, come noto dalle scuole secondarie, la somma delle soluzioni di un'equazione di secondo grado coincide con l'opposto del coefficiente del termine di grado $1$: nel caso in esame, essa coincide coll'opposto del coefficiente di $z_3$, i.e. l'opposto di $1$.
Insomma, chiamando le incognite $z_1,z_2,z_3$ abbiamo:
\[
(z_1^2 + z_1 + a_1) + (z_2^2 + z_2 + a_2) + (z_3^2 + z_3 + a_3) = 0\; ,
\]
la quale può essere pensata coma equazione nella sola incognita $z_3$: tale equazione è di secondo grado ed ha soluzioni reali solo se il suo discriminante è $Delta_3 >=0$. Imponendo $Delta_3 >=0$ si trova la condizione:
\[
1-4 \Big( a_3+ (z_1^2 + z_1 + a_1) + (z_2^2 + z_2 + a_2)\Big) \geq 0
\]
sotto la quale l'equazione riesce a definire la $z_3$ come funzione delle rimanenti due incognite attraverso la classica formula risolutiva dell'equazione di secondo grado:
\[
z_3 = \frac{-1\pm \sqrt{\Delta_3}}{2}\; .
\]
Il problema è stabilire se la condizione $Delta_3 >= 0$ individua una regione non vuota del piano $Oz_1z_2$; dato che essa si riscrive:
\[
4z_2^2 + 4z_2 + \Big(4a_2 -1+ 4a_3+ 4(z_1^2 + z_1 + a_1)\Big) \leq 0
\]
è evidente che la regione individuata dalla disequazione non è vuota solo se il discriminante $\Delta_2^\prime$ del polinomio al primo membro è $>=0$:
\[
4 - 4\Big(4a_2 -1+ 4a_3+ 4(z_1^2 + z_1 + a_1)\Big) \geq 0\; ;
\]
soddisfatta tale condizione, si ottiene:
\[
\underbrace{\frac{-2-\sqrt{\Delta_2^\prime}}{4}}_{=: \alpha(z_1)} \leq z_2\leq \underbrace{\frac{-2+\sqrt{\Delta_2^\prime}}{4}}_{=:\beta (z_1)}\; .
\]
La condizione $Delta_2^\prime >= 0$ è soddisfatta solo se il discriminante $Delta_1^{\prime \prime}$ del polinomio al primo membro è $>=0$ e ciò accade solo se $a_1+a_2+a_3<=3/4$ ed in tal caso ti fornisce $z_1$ in un certo intervallo chiuso (i cui estremi $x<=y$ dipendono da $a_1,a_2,a_3$ e te li calcoli da solo
).Dunque, la tua equazione ha soluzioni date dai punti del tipo $(z_1,z_2, \frac{-1\pm \sqrt{\Delta_3}}{2})$ con $x<=z_1<=y$ e $alpha(z_1)<= z_2 <=beta(z_1)$.
Il procedimento per il calcolo delle soluzioni si generalizza, con difficoltà crescenti col numero di variabili, al caso generale.
Tuttavia, se ti interessa la somma delle soluzioni dell'equazione, essa è sempre $-1$.
Infatti, come noto dalle scuole secondarie, la somma delle soluzioni di un'equazione di secondo grado coincide con l'opposto del coefficiente del termine di grado $1$: nel caso in esame, essa coincide coll'opposto del coefficiente di $z_3$, i.e. l'opposto di $1$.
Per vedere se avevo capito, ho eseguito i conti per calcolare $ z_1 $ $ z_2 $ e $ z_3 $.
Dunque ho calcolato $ z_1 $ a partire da:
$ z_1^2+z_1+a_1+a_2+a_3-1/2<= 0 $
da cui $z_1$ è:
$ z_1=(-1+- sqrt(1-4(a_1+a_2+a_3-1/2)))/2 $
Dopodiché ho sostituito i suoi valori nel determinante $ Delta _2^{\prime} $ per calcolare $ z_2 $. Con entrambi i valori di $z_1$ il determinante di $z_2$ si annulla e dunque
$z_2=-1/2$
A questo punto risalendo ho sostituito sia $z_1$ che $z_2$ in $z_3$ e come risultato ho ottenuto nuovamente $-1/2$.
Ho sbagliato qualcosa nel ragionamento oppure è un caso che entrambe risultino $-1/2$?
Dunque ho calcolato $ z_1 $ a partire da:
$ z_1^2+z_1+a_1+a_2+a_3-1/2<= 0 $
da cui $z_1$ è:
$ z_1=(-1+- sqrt(1-4(a_1+a_2+a_3-1/2)))/2 $
Dopodiché ho sostituito i suoi valori nel determinante $ Delta _2^{\prime} $ per calcolare $ z_2 $. Con entrambi i valori di $z_1$ il determinante di $z_2$ si annulla e dunque
$z_2=-1/2$
A questo punto risalendo ho sostituito sia $z_1$ che $z_2$ in $z_3$ e come risultato ho ottenuto nuovamente $-1/2$.
Ho sbagliato qualcosa nel ragionamento oppure è un caso che entrambe risultino $-1/2$?
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