Somma di due serie
Ciao a tutti!
Qualcuno sa come si fa a calcolare la somma delle seguenti serie:
$sum_(n=1)^(+oo) (n+1)/(n!)$
e poi:
$sum_(n=1)^(+oo) log ((1+e^-n)/(1+e^(-(n+1))))$
Non riesco a risolverle...
Qualcuno sa come si fa a calcolare la somma delle seguenti serie:
$sum_(n=1)^(+oo) (n+1)/(n!)$
e poi:
$sum_(n=1)^(+oo) log ((1+e^-n)/(1+e^(-(n+1))))$
Non riesco a risolverle...
Risposte
@littlebea: Benvenuta.
Con i miei poteri da moderatore ho spostato il tuo post in un nuovo thread ed ho inserito le formule correttamente.
Qualche idea per la soluzione?
Con i miei poteri da moderatore ho spostato il tuo post in un nuovo thread ed ho inserito le formule correttamente.
Qualche idea per la soluzione?
Ho trovato la soluzione!....bisognava ricondursi alla serie esponenziale e a qlla telescopica....Invece ora ho problemi con questa:
$sum_(n=1)^(+oo) 8/(9n^2 -15n +4)$
Qualcuno può aiutarmi??!
$sum_(n=1)^(+oo) 8/(9n^2 -15n +4)$
Qualcuno può aiutarmi??!
"littlebea":
Ho trovato la soluzione!....bisognava ricondursi alla serie esponenziale e a qlla telescopica
Esatto.
"littlebea":
Invece ora ho problemi con questa:
$sum_(n=1)^(+oo) 8/(9n^2 -15n +4)$
Qualcuno può aiutarmi??!
Prova a scomporre gli addendi in fratti semplici.
P.S.: Per imparare ad inserire correttamente il testo matematico basta cliccare su formule e leggere le poche istruzioni riportate nella pagina che viene fuori.
L'ho fatto però il risultato non mi viene!
Arrivo ad avere $ sum_(n = 1)^(n = oo) [8/(n- 4/3) - 8/ (n- 1/3)] $ ...ma è anche questa una serie telescopica? Come vado avanti?
Arrivo ad avere $ sum_(n = 1)^(n = oo) [8/(n- 4/3) - 8/ (n- 1/3)] $ ...ma è anche questa una serie telescopica? Come vado avanti?
Beh, [tex]$\tfrac{4}{3} =1+\tfrac{1}{3}$[/tex], quindi...
sì è telescopica, però il risultato dovrebbe essere $ -2 // 3 $ , invece a me viene un altro risultato... cioè ho fatto b (indice k) = $ 8 // (k- 1/3) $ e facendo $ lim_(k -> oo ) 8 // (k- 1/3) $ viene 0.
Poi faccio b (indice 0) = $ -3//8 $ ....Cosa ho sbagliato? Come avrei dovuto fare?
Poi faccio b (indice 0) = $ -3//8 $ ....Cosa ho sbagliato? Come avrei dovuto fare?
Seguo la regola delle serie telescopiche....e mi viene sbagliata! Please, HELP!!!
Se scrivi male la fattorizzazione di un polinomio non è strano che il risultato non venga... Controlla bene.
è VERO! Ho dimenticato il 9 a denominatore... però ora la somma mi viene $-4//3$ ,invece di $-2//3$! uffa!
La somma viene [tex]$-\tfrac{8}{3}$[/tex], se la serie parte dall'indice [tex]$n=1$[/tex]; mentre viene [tex]$-\tfrac{2}{3}$[/tex] se la serie parte dall'indice [tex]$n=0$[/tex].
Veramente nel testo l'indice è n=1 e il risultato che dà il libro è $ -2//3 $ ...Anche a me viene $ -8//3 $ con n=1... Ma come fai a dire che se n=0 il risultato è $-2//3$ ? Mi potresti far vedere i passaggi?
E' sbagliato il risultato del libro?
E' sbagliato il risultato del libro?
Facendo un altro es. simile : $ sum_(n = 1)^( oo ) 1// (4n^2 + 8n + 3) $ , ottengo a_n (cioè il termine generale) = $ [1 // 4 (n+ 1//2) ] - [ 1 // 4(n+ 3//2)] $ , cioè $ 1//4 [b_n - b_(n+1)] $
A questo punto faccio $ lim (S_N) = lim b_1 - b_(N+1) = 2//3 $ . Quindi la somma della serie è $ 2//3 $ (come dice il risultato del libro). Perchè in questo caso non considero $ 1//4 $ , mentre nell'esercizio precedente devo considerare $ -8//9 $ ?
A questo punto faccio $ lim (S_N) = lim b_1 - b_(N+1) = 2//3 $ . Quindi la somma della serie è $ 2//3 $ (come dice il risultato del libro). Perchè in questo caso non considero $ 1//4 $ , mentre nell'esercizio precedente devo considerare $ -8//9 $ ?
Beh, per fissato [tex]$N\in \mathbb{N}$[/tex] si ha:
[tex]$\sum_{n=0}^N \frac{8}{9n^2-15n+4} = \frac{8}{9}\sum_{n=0}^N \frac{1}{(n-1)-\frac{1}{3}} -\frac{1}{n-\frac{1}{3}}$[/tex]
[tex]$=\frac{8}{9} \left( -\frac{3}{4} +3-3-\frac{3}{2} +\frac{3}{2}-\frac{3}{5}+\dots -\frac{1}{(N-1)-\frac{1}{3}} +\frac{1}{(N-1)-\frac{1}{3}} -\frac{1}{N-\frac{1}{3}}\right)$[/tex]
[tex]$=\frac{8}{9} \left( -\frac{3}{4}-\frac{1}{N-\frac{1}{3}}\right)$[/tex],
ergo [tex]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{8}{9n^2-15n+4}=\lim_N \frac{8}{9} \left( -\frac{3}{4}-\frac{1}{N-\frac{1}{3}}\right)=-\frac{2}{3}[/tex].
[tex]$\sum_{n=0}^N \frac{8}{9n^2-15n+4} = \frac{8}{9}\sum_{n=0}^N \frac{1}{(n-1)-\frac{1}{3}} -\frac{1}{n-\frac{1}{3}}$[/tex]
[tex]$=\frac{8}{9} \left( -\frac{3}{4} +3-3-\frac{3}{2} +\frac{3}{2}-\frac{3}{5}+\dots -\frac{1}{(N-1)-\frac{1}{3}} +\frac{1}{(N-1)-\frac{1}{3}} -\frac{1}{N-\frac{1}{3}}\right)$[/tex]
[tex]$=\frac{8}{9} \left( -\frac{3}{4}-\frac{1}{N-\frac{1}{3}}\right)$[/tex],
ergo [tex]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{8}{9n^2-15n+4}=\lim_N \frac{8}{9} \left( -\frac{3}{4}-\frac{1}{N-\frac{1}{3}}\right)=-\frac{2}{3}[/tex].
Ma se n=1 allora che cosa cambia nei passaggi? Non riesco a capire quando devo usare $b_0$ oppure $b_1-b_N+1 $...
Facendo un altro es. simile : $ sum_(n = 1)^( oo ) 1// (4n^2 + 8n + 3) $ , ottengo a_n (cioè il termine generale) = $ [1 // 4 (n+ 1//2) ] - [ 1 // 4(n+ 3//2)] $ , cioè $ 1//4 [b_n - b_(n+1)] $
A questo punto faccio $ lim (S_N) = lim b_1 - b_(N+1) = 2//3 $ . Quindi la somma della serie è $ 2//3 $ (come dice il risultato del libro). Perchè in questo caso non considero $ 1//4 $ , mentre nell'esercizio precedente devo considerare $ 8//9 $ ?
P.S. Scusa x il disturbo
GRAZIE!
Facendo un altro es. simile : $ sum_(n = 1)^( oo ) 1// (4n^2 + 8n + 3) $ , ottengo a_n (cioè il termine generale) = $ [1 // 4 (n+ 1//2) ] - [ 1 // 4(n+ 3//2)] $ , cioè $ 1//4 [b_n - b_(n+1)] $
A questo punto faccio $ lim (S_N) = lim b_1 - b_(N+1) = 2//3 $ . Quindi la somma della serie è $ 2//3 $ (come dice il risultato del libro). Perchè in questo caso non considero $ 1//4 $ , mentre nell'esercizio precedente devo considerare $ 8//9 $ ?
P.S. Scusa x il disturbo
GRAZIE!
Buongiorno!
Ho un esercizio da sottoporvi:
$ sum_(n = 0)^(oo) (1+ x^2) e^(-nx) $ con $ x in RR $
Calcolare la somma di questa serie....
Mi potreste scrivere i passaggi? Thanks
Ho un esercizio da sottoporvi:
$ sum_(n = 0)^(oo) (1+ x^2) e^(-nx) $ con $ x in RR $
Calcolare la somma di questa serie....
Mi potreste scrivere i passaggi? Thanks
"littlebea":
Ma se n=1 allora che cosa cambia nei passaggi? Non riesco a capire quando devo usare $b_0$ oppure $b_1-b_N+1 $...
Facendo un altro es. simile : $ sum_(n = 1)^( oo ) 1// (4n^2 + 8n + 3) $ , ottengo a_n (cioè il termine generale) = $ [1 // 4 (n+ 1//2) ] - [ 1 // 4(n+ 3//2)] $ , cioè $ 1//4 [b_n - b_(n+1)] $
A questo punto faccio $ lim (S_N) = lim b_1 - b_(N+1) = 2//3 $ . Quindi la somma della serie è $ 2//3 $ (come dice il risultato del libro). Perchè in questo caso non considero $ 1//4 $ , mentre nell'esercizio precedente devo considerare $ 8//9 $ ?
Il problema è che [tex]$8/9$[/tex] viene fuori dalla decomposizione corretta dei tuoi addendi: infatti:
[tex]$\frac{8}{9n^2-15n+4}=\frac{8}{9(n-\tfrac{1}{3})(n-\tfrac{4}{3})}=\frac{8}{9(n-\tfrac{4}{3})}-\frac{8}{9(n-\tfrac{1}{3})}=\frac{8}{9}\left( \frac{1}{n-\tfrac{4}{3}}-\frac{1}{n-\tfrac{1}{3}}\right)$[/tex]...
Per la nuova serie che proponi, che idee hai avuto?
$ sum_(n = 1)^( oo ) 1// (4n^2 + 8n + 3) $ , ottengo a_n (cioè il termine generale) = $ [1 // 4 (n+ 1//2) ] - [ 1 // 4(n+ 3//2)] $ , cioè $ 1//4 [b_n - b_(n+1)] $
A questo punto faccio $ lim (S_N) = lim b_1 - b_(N+1) = 2//3 $ . Quindi la somma della serie è $ 2//3 $ (come dice il risultato del libro). Perchè in questo caso non considero $ 1//4 $ , mentre nell'esercizio precedente devo considerare $ 8//9 $ ?[/quote]
Il problema è che [tex]$8/9$[/tex] viene fuori dalla decomposizione corretta dei tuoi addendi:
ok, ma anche $ 1//4 $ viene fuori dalla decomposizione degli addendi... però il risultato non è $ 1//6 $ , ma è $ 2//3 $ . Perchè?
A questo punto faccio $ lim (S_N) = lim b_1 - b_(N+1) = 2//3 $ . Quindi la somma della serie è $ 2//3 $ (come dice il risultato del libro). Perchè in questo caso non considero $ 1//4 $ , mentre nell'esercizio precedente devo considerare $ 8//9 $ ?[/quote]
Il problema è che [tex]$8/9$[/tex] viene fuori dalla decomposizione corretta dei tuoi addendi:
ok, ma anche $ 1//4 $ viene fuori dalla decomposizione degli addendi... però il risultato non è $ 1//6 $ , ma è $ 2//3 $ . Perchè?
Allora:
[tex]$\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{4n^2+8n+3}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+\frac{1}{2}} -\frac{1}{(n+1)+\frac{1}{2}}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{1+\frac{1}{2}} -\frac{1}{2+\frac{1}{2}} + \frac{1}{2+\frac{1}{2}} -\frac{1}{3+\frac{1}{2}} +\frac{1}{3+\frac{1}{2}} -\ldots - \frac{1}{N+\frac{1}{2}}+\frac{1}{N+\frac{1}{2}} -\frac{1}{(N+1)+\frac{1}{2}}\right)$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{4} \left( \frac{2}{3} -\frac{2}{2N+3}\right)$[/tex],
quindi:
[tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{4n^2+8n+3}=\lim_N \frac{1}{4} \left( \frac{2}{3} -\frac{2}{2N+3}\right) =\frac{1}{6}$[/tex].
Dunque è sbagliato il risultato del libro.
[tex]$\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{4n^2+8n+3}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+\frac{1}{2}} -\frac{1}{(n+1)+\frac{1}{2}}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{1+\frac{1}{2}} -\frac{1}{2+\frac{1}{2}} + \frac{1}{2+\frac{1}{2}} -\frac{1}{3+\frac{1}{2}} +\frac{1}{3+\frac{1}{2}} -\ldots - \frac{1}{N+\frac{1}{2}}+\frac{1}{N+\frac{1}{2}} -\frac{1}{(N+1)+\frac{1}{2}}\right)$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{4} \left( \frac{2}{3} -\frac{2}{2N+3}\right)$[/tex],
quindi:
[tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{4n^2+8n+3}=\lim_N \frac{1}{4} \left( \frac{2}{3} -\frac{2}{2N+3}\right) =\frac{1}{6}$[/tex].
Dunque è sbagliato il risultato del libro.
Ok grazie!!
Ora sto studiando un altro capitolo...quello delle serie di funzioni:
Studiare la convergenza puntuale e uniforme di
$ sum_(n = 0)^(oo) ([n^2 -3(-1)^n ]/ 2^n ) (x /(x^2 +1) - 1)^n $ $ AA n $ >= 0,
$ sum_(n = 0)^(oo) ([n^2 -3(-1)^n ]/ 2^n ) (x^2 - 2x -1)^n $
Ora sto studiando un altro capitolo...quello delle serie di funzioni:
Studiare la convergenza puntuale e uniforme di
$ sum_(n = 0)^(oo) ([n^2 -3(-1)^n ]/ 2^n ) (x /(x^2 +1) - 1)^n $ $ AA n $ >= 0,
$ sum_(n = 0)^(oo) ([n^2 -3(-1)^n ]/ 2^n ) (x^2 - 2x -1)^n $
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