Somma della serie/convergenza della serie
Salve a tutti,
chiedo scusa per la banalità della domanda ma il mio professore non è affatto chiaro nelle spiegazioni e le dispense che uso lo sono altrettanto; vorrei solo sapere, determinare la somma di una serie equivale a calcolare il limite a cui la serie converge(se la serie è convergente)? E invece, nel caso in cui la serie è divergente?
Grazie in anticipo per la pazienza
Valentina
chiedo scusa per la banalità della domanda ma il mio professore non è affatto chiaro nelle spiegazioni e le dispense che uso lo sono altrettanto; vorrei solo sapere, determinare la somma di una serie equivale a calcolare il limite a cui la serie converge(se la serie è convergente)? E invece, nel caso in cui la serie è divergente?
Grazie in anticipo per la pazienza
Valentina
Risposte
Da wikipedia:
Si parla del limite della successione delle somme parziali $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ di indice $n$ e lo studio della convergenza si riduce allo studio del limite di una successione. Ci sono successionei convergenti, successioni divergenti, successioni che non ammettono limite. Se vai a vedere su un libro, ad esempio su quello che ho utilizzato io, introduce presto il criterio di convergenza di Cauchy. Da esso trae una condizione necessaria ma non sufficiente per controllare se una serie converge. Se una serie non lo rispetta vedi subito che è non convergente. Oppure pensa al grafico di $S_n$ e come può fare a non ammettere limite o a non ammetterlo finito.
Il carattere di una serie rappresenta il valore della somma dei suoi infiniti termini. Per studiare il carattere di una serie si può calcolare il limite per n che tende ad infinito della sua somma parziale.
Si distinguono tre casi:
$1$ Se il limite esiste ed è finito la serie si dice convergente.
$2$ Se il limite è infinito la serie si dice divergente.
$3$ Se il limite non esiste la serie si dice indeterminata o oscillante.
Si parla del limite della successione delle somme parziali $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ di indice $n$ e lo studio della convergenza si riduce allo studio del limite di una successione. Ci sono successionei convergenti, successioni divergenti, successioni che non ammettono limite. Se vai a vedere su un libro, ad esempio su quello che ho utilizzato io, introduce presto il criterio di convergenza di Cauchy. Da esso trae una condizione necessaria ma non sufficiente per controllare se una serie converge. Se una serie non lo rispetta vedi subito che è non convergente. Oppure pensa al grafico di $S_n$ e come può fare a non ammettere limite o a non ammetterlo finito.
@5mrkv: Perché citare un bruttissimo passaggio di WIKI?
Voglio dire, quella frase iniziale non dice assolutamente nulla di sensato (e di ciò ti sarai accorto anche tu); quindi perché citarla?
Voglio dire, quella frase iniziale non dice assolutamente nulla di sensato (e di ciò ti sarai accorto anche tu); quindi perché citarla?
Oddio. Spiega 
Intendi questo?
Intendi questo?
Il carattere di una serie rappresenta il valore della somma dei suoi infiniti termini
Ad esempio, potresti spiegarmi il senso della frase:
che, per me, non significa nulla.
Il carattere di una serie rappresenta il valore della somma dei suoi infiniti termini.
che, per me, non significa nulla.
"gugo82":
Ad esempio, potresti spiegarmi il senso della frase:
Il carattere di una serie rappresenta il valore della somma dei suoi infiniti termini.
che, per me, non significa nulla.
Ah, ecco. Ho modificato tardi
Si, effettivamente...
Grazie per le risposte, forse non mi sono spiegata bene; non è che non so cosa vuol dire serie convergente o divergente e conosco i criteri per verificare la convergenza di una funzione, il mio dubbio principale riguarda piuttosto il significato di somma della serie, perchè nelle dispense che utilizzo questo passaggio viene liquidato in poche parole e dalla semplice formula $lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n a_n$ che ho capito concettualmente, ma non ho capito come fare a far venire un numero..
In effetti non sempre si può tirare fuori la somma di una serie convergente.
Ad esempio, si sa che:
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{n!} =\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{2^k}{k!} =e^2
\]
però non si sa quanto fa, ad esempio:
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^n} =\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k^k}\; \ldots
\]
Quello che voglio dire è che solo in casi particolarissimi si può scrivere per la somma di una serie un'espressione numerica esplicita; nella stragrande maggioranza dei casi, invece, la somma di una serie convergente non è calcolabile elementarmente e, di fatto, ci si deve accontentare del fatto che tale somma esiste.
Ad esempio, si sa che:
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{n!} =\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{2^k}{k!} =e^2
\]
però non si sa quanto fa, ad esempio:
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^n} =\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k^k}\; \ldots
\]
Quello che voglio dire è che solo in casi particolarissimi si può scrivere per la somma di una serie un'espressione numerica esplicita; nella stragrande maggioranza dei casi, invece, la somma di una serie convergente non è calcolabile elementarmente e, di fatto, ci si deve accontentare del fatto che tale somma esiste.
Si può anche fare il ragionamento opposto, che fose rende l'idea dell'esistenza di un limite per un numero infinito di somme. No? Voglio dire, se prendo il numero $1$ e lo divido a metà, poi divido la metà a metà e così via: \[s_3=0,5+0,25+0,125\] Ottengo una successione di somme parziali che iterando il procedimento all'infinito porta alla costruzione di una successione: \[lim_{n \rightarrow \infty}s_n = (\sum_{n=1}^{\infty}a_n)=1\] In questo caso se non sbaglio ad interpretare il risultato su wolfram la serie è http://tinyurl.com/c8lxgxn 
@5mrkv: Quella è la serie geometrica di ragione $1/2$... Non ci voleva WolframAlpha per calcolarne la somma.
Ah si, hai ragione
Ah ho capito... ma quindi cosa devo fare quando negli esercizi mi si dice "determinare la somma della serie"? Si dà già per scontato che per quella serie è possibile calcolare la somma? Ad esempio, una serie è $\sum_{n=1}^\infty\ 1/[(2n-1)(2n+1)] $ dopo aver scritto che la successione delle serie parziali è $\sum_{k=1}^n 1/[(2k-1)(2k+1)]$ e che la somma è data dal limite per n che tende a infinito di tale successione, come devo fare? Non basta lasciare così, vero?
"valentina92":
Ah ho capito... ma quindi cosa devo fare quando negli esercizi mi si dice "determinare la somma della serie"? Si dà già per scontato che per quella serie è possibile calcolare la somma?
Certo.
"valentina92":
Ad esempio, una serie è $\sum_{n=1}^\infty\ 1/[(2n-1)(2n+1)] $ dopo aver scritto che la successione delle serie parziali è $\sum_{k=1}^n 1/[(2k-1)(2k+1)]$ e che la somma è data dal limite per n che tende a infinito di tale successione, come devo fare? Non basta lasciare così, vero?
Ovviamente no, non basta.
Qui si usa un trucco standard, ossia una decomposizione in fratti semplici.
In altre parole nota che per ogni \(n\) si ha:
\[
\begin{split}
\frac{1}{(2n+1)(2n-1)} &= \frac{1}{2}\ \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} \\
&= \frac{1}{2}\ \frac{(1-2n)+(2n+1)}{(2n-1)(2n+1)}\\
&= \frac{1}{2}\ \left( \frac{1}{2n-1} -\frac{1}{2n+1}\right)
\end{split}
\]
sicché la tua somma parziale \(n\)-esima si scrive:
\[
\begin{split}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k+1)(2k-1)} &=\frac{1}{2}\ \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2n-1} -\frac{1}{2n+1}\right)\\
&= \frac{1}{2}\ \left( 1-\frac{1}{3} +\frac{1}{3} -\frac{1}{5} +\frac{1}{5} -\ldots -\frac{1}{2n-1}+ \frac{1}{2n-1} -\frac{1}{2n+1}\right)\\
&= \frac{1}{2}\ \left( 1-\frac{1}{2n+1}\right) \; ,
\end{split}
\]
e da qui è facile calcolare la somma della serie.
Come faceva notare 5mrkv, questa che ti hanno assegnato è una serie telescopica: per tale tipo di serie si può sempre calcolare la somma (e gli artifici che consentono di farlo sono del tipo di quello che ho appena usato).
Altre serie di cui si sà calcolare "immediatamente" la somma sono la serie geometrica e tutte le serie numeriche che derivano da serie di Taylor di funzioni elementari.
Per altre serie, il discorso calcolo della somma presenta maggiori difficoltà: ad esempio l'uguaglianza:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} =\frac{\pi^2}{6}
\]
si stabilisce o usando le serie di Taylor, oppure usando tecniche di Analisi Armonica (scrivendo una serie di Fourier)... Insomma il calcolo della somma di una serie, in generale, è un problema tutt'altro che banale.
Ho capito, in effetti le serie di cui mi si chiede di calcolare la somma negli esercizi che devo fare sono tutte telescopiche o geometriche. Sei stato molto chiaro, ma posso chiederti di avere un ultimo briciolo di pazienza per farmi vedere come si calcola dal punto in cui ti sei fermato..? Anche se dici che è facile, non mi viene in mente come andare avanti.. 
Poi ho qualche problema con il calcolo della somma con delle serie geometriche, ma ho l'impressione che il risultato che mi propongono sia sbagliato. Prima di chiedervi questo però ci penso un po' .
Poi ho qualche problema con il calcolo della somma con delle serie geometriche, ma ho l'impressione che il risultato che mi propongono sia sbagliato. Prima di chiedervi questo però ci penso un po' .
Forse devo semplicemente calcolare $\lim_{n \to \infty} 1/2 (1-1/(2n+1))$?
"valentina92":
Ho capito, in effetti le serie di cui mi si chiede di calcolare la somma negli esercizi che devo fare sono tutte telescopiche o geometriche. Sei stato molto chiaro, ma posso chiederti di avere un ultimo briciolo di pazienza per farmi vedere come si calcola dal punto in cui ti sei fermato..? Anche se dici che è facile, non mi viene in mente come andare avanti..
Basta passare al limite per \(n\to \infty\), quindi:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\lim_n \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} =\lim_n \frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2n+1}\right) =\frac{1}{2}\; .
\]
"valentina92":
Poi ho qualche problema con il calcolo della somma con delle serie geometriche, ma ho l'impressione che il risultato che mi propongono sia sbagliato. Prima di chiedervi questo però ci penso un po' .
Per le somme parziali e la somma di una serie geometrica hai delle formule esplicite, quindi devi solo saperle usare.
Perfetto, ti ringrazio davvero molto. So che c'è la formula per la serie geometrica, l'ho usata, ma mi viene diverso... proverò a fare altri esercizi in merito così capisco se mi danno un risultato sbagliato oppure non ho capito io come si usa.
Grazie ancora per la chiarezza e la disponibilità
Grazie ancora per la chiarezza e la disponibilità
Scusate se torno a scrivere, ho risolto da sola i miei dubbi sulla somma di serie geometriche, chiedo solo una precisazione: se è $\sum_{k=1}^n q^(k-1)$ , è lecito scrivere $\sum_{k=0}^(n-1) q^k$? non dovrebbe essere $\sum_{k=0}^(n-1) q^(k-2)$ ? oppure, se voglio $q^k$ , $\sum_{k=2}^(n+1) q^k$?
"valentina92":
Scusate se torno a scrivere, ho risolto da sola i miei dubbi sulla somma di serie geometriche, chiedo solo una precisazione: se è $\sum_{k=1}^n q^(k-1)$ , è lecito scrivere $\sum_{k=0}^(n-1) q^k$? non dovrebbe essere $\sum_{k=0}^(n-1) q^(k-2)$ ? oppure, se voglio $q^k$ , $\sum_{k=2}^(n+1) q^k$?
Se le scrivi esplicitamente solo le prime due coincidono.
\[\sum_{k=1}^n q^{k-1}=q^{0}+q^{1}+q^{2}+...+q^{n-1}\]
\[\sum_{k=0}^{n-1} q^k=q^{0}+q^{1}+q^{2}+...+q^{n-1}\]
\[\sum_{k=0}^{n-1} q^{k-2}=q^{-2}+q^{-1}+q^{0}+...+q^{n-3}\]
\[\sum_{k=2}^{n+1} q^k=q^{2}+q^{3}+q^{4}+...+q^{n+1}\]
Aaah ecco perchè... grazie mille!!
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