Somma della serie di Potenza
Salve altro problema. Questa volta riguarda la somma della serie di potenze.
$ 2sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n(n+1)/((2n+1)!)x^(2n+1)$
Devo riuscire a trovare il raggio di convergenza e la somma della serie.
Per il raggio applicando la lemma di Abel se non ho fatto male i calcoli viene $ R = 0$ quindi la serie converge $|x|=0$ il problema è calcolarne la somma. A primo impatto vedo che se non vi fosse il termini $n+1$ la somma sarebbe un seno ma non riesco ad eliminare quel $n+1$
Mi date una mano??
$ 2sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n(n+1)/((2n+1)!)x^(2n+1)$
Devo riuscire a trovare il raggio di convergenza e la somma della serie.
Per il raggio applicando la lemma di Abel se non ho fatto male i calcoli viene $ R = 0$ quindi la serie converge $|x|=0$ il problema è calcolarne la somma. A primo impatto vedo che se non vi fosse il termini $n+1$ la somma sarebbe un seno ma non riesco ad eliminare quel $n+1$
Mi date una mano??
Risposte
"kapooo":
Salve altro problema. Questa volta riguarda la somma della serie di potenze.
$ 2sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n(n+1)/((2n+1)!)x^(2n+1)$
Devo riuscire a trovare il raggio di convergenza e la somma della serie.
Per il raggio applicando la lemma di Abel se non ho fatto male i calcoli viene $ R = 0$ quindi la serie converge $|x|=0$ il problema è calcolarne la somma. A primo impatto vedo che se non vi fosse il termini $n+1$ la somma sarebbe un seno ma non riesco ad eliminare quel $n+1$
Mi date una mano??
Innanzi tutto il raggio di convergenza è sbagliato infatti ponendo $a_n=(-1)^n(n+1)/((2n+1)!)$ si ha che:
$a_(n+1)/a_n=(-1)^(n+1)(n+2)/((2n+3)!)1/(-1)^n((2n+1)!)/(n+1)=-(n+2)/(n+1)((2n+1)!)/((2n+3)(2n+2)(2n+1)!)=-(n+2)/(n+1)1/((2n+3)(2n+2))->0$ per $n->+infty$
Dunque $R=+oo$ poichè è l'inverso
Per quanto riguarda la somma si può procedere così:
$2sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n(n+1)/((2n+1)!)x^(2n+1)=sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(2n+2)x^(2n+1)=sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)d/(dx)(x^(2n+2))=d/(dx)sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(x^(2n+2))=d/(dx){xsum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(x^(2n+1))}=d/(dx){x[sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(x^(2n+1))-x]}=d/(dx){x[sin(x)-x]}=sin(x) +xcos(x) -2x$
dove i sono stati utilizzati il fatto che la serie converge su tutto $mathbb{R}$ per portare fuori dal segno di serie l'operatore di derivazione e la formula dello sviluppo di Taylor della funzione $sin(x)$. Tuttavia se ci fossero punti non chiari domanda pure.
Grazie della risposta ma adesso iniziano i dolori 
1) Quando trovi il raggio di convergenza $a_(n+1)/a_n=(-1)^(n+1)(n+2)/((2n+3)!)1/(-1)^n((2n+1)!)/(n+1)=-(n+2)/(n+1)((2n+1)!)/((2n+3)(2n+2)(2n+1)!)=-(n+2)/(n+1)1/((2n+3)(2n+2))$ come è possibile che nel primo passaggio di venga $(2n+3)!$ non dovrebbe venire $(2n+2)!$ al denominatore ??
2) Come mai moltiplichi il tutto per l'opposto di $a_n$ è corretto??
3) e ultima cosa che riguarda il raggio: coma hai fatto a scomporre $(2n+3)!$ in $(2n+3)(2n+2)(2n+1)!$ (ora che ci penso la scomposizione è dovuta al fattoriale, ritiro la domanda)??
Iniziano i dolori anche per trovare la somma alcun cose veramente ignote
1) $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(2n+2)x^(2n+1)=sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)d/(dx)(x^(2n+2))$ Come hai fatto a fare questo passaggio?? Dove è andato a finire $(2n+2)$ ??
2) $d/(dx){xsum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(x^(2n+1))}=d/(dx){x[sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(x^(2n+1))-x]}$ Mi chiedo il -x che è stato necessario per scalare l'indice non dovrebbe andare fuori dalla serie?? Altrimenti per $n=1,2,3...+oo$ si toglie un $-x$ quando invece va tolto solo per $n=0$ In definitiva non dovrebbe venire così?? $d/(dx){-x+x[sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(x^(2n+1))]}$
3) Domandone finale generale: ma per caso esiste una regola o una strada per trovare le somme delle serie di potenza o bisogna solo avere intuito e sperare di vedere qualcosa di familiare nella serie di cui si vuol calcolare la somma per poi cercare di ricondurci ad essa con le derivate?? Se così fosse la cosa non è per nulla semplice.
Grazie del tuo aiuto
1) Quando trovi il raggio di convergenza $a_(n+1)/a_n=(-1)^(n+1)(n+2)/((2n+3)!)1/(-1)^n((2n+1)!)/(n+1)=-(n+2)/(n+1)((2n+1)!)/((2n+3)(2n+2)(2n+1)!)=-(n+2)/(n+1)1/((2n+3)(2n+2))$ come è possibile che nel primo passaggio di venga $(2n+3)!$ non dovrebbe venire $(2n+2)!$ al denominatore ??
2) Come mai moltiplichi il tutto per l'opposto di $a_n$ è corretto??
3) e ultima cosa che riguarda il raggio: coma hai fatto a scomporre $(2n+3)!$ in $(2n+3)(2n+2)(2n+1)!$ (ora che ci penso la scomposizione è dovuta al fattoriale, ritiro la domanda)??
Iniziano i dolori anche per trovare la somma alcun cose veramente ignote
1) $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(2n+2)x^(2n+1)=sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)d/(dx)(x^(2n+2))$ Come hai fatto a fare questo passaggio?? Dove è andato a finire $(2n+2)$ ??
2) $d/(dx){xsum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(x^(2n+1))}=d/(dx){x[sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(x^(2n+1))-x]}$ Mi chiedo il -x che è stato necessario per scalare l'indice non dovrebbe andare fuori dalla serie?? Altrimenti per $n=1,2,3...+oo$ si toglie un $-x$ quando invece va tolto solo per $n=0$ In definitiva non dovrebbe venire così?? $d/(dx){-x+x[sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(x^(2n+1))]}$
3) Domandone finale generale: ma per caso esiste una regola o una strada per trovare le somme delle serie di potenza o bisogna solo avere intuito e sperare di vedere qualcosa di familiare nella serie di cui si vuol calcolare la somma per poi cercare di ricondurci ad essa con le derivate?? Se così fosse la cosa non è per nulla semplice.
Grazie del tuo aiuto
"kapooo":
Grazie della risposta ma adesso iniziano i dolori
1) Quando trovi il raggio di convergenza $a_(n+1)/a_n=(-1)^(n+1)(n+2)/((2n+3)!)1/(-1)^n((2n+1)!)/(n+1)=-(n+2)/(n+1)((2n+1)!)/((2n+3)(2n+2)(2n+1)!)=-(n+2)/(n+1)1/((2n+3)(2n+2))$ come è possibile che nel primo passaggio di venga $(2n+3)!$ non dovrebbe venire $(2n+2)!$ al denominatore ??
se $a_n=(-1)^n(n+1)/((2n+1)!) Rightarrow a_(n+1)=(-1)^(n+1)((n+1)+1)/((2(n+1)+1)!)$ ho banalmente messo $n+1$ al posto di $n$, cioè ho valutato $a_n$ in $n+1$
"kapooo":
2) Come mai moltiplichi il tutto per l'opposto di $a_n$ è corretto??
perchè $a_(n+1)/a_n=a_(n+1)1/a_n$ le frazioni doppie si trattano così: $(a/b)/(c/d)=a/bd/c$
"kapooo":
3) e ultima cosa che riguarda il raggio: coma hai fatto a scomporre $(2n+3)!$ in $(2n+3)(2n+2)(2n+1)!$ (ora che ci penso la scomposizione è dovuta al fattoriale, ritiro la domanda)??
esatto sono le proprietà dei fattoriali che ti aiutano a calcolare il limite
"kapooo":
Iniziano i dolori anche per trovare la somma alcun cose veramente ignote
1) $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(2n+2)x^(2n+1)=sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)d/(dx)(x^(2n+2))$ Come hai fatto a fare questo passaggio?? Dove è andato a finire $(2n+2)$ ??
semplicemente ho notato che la derivata di $x^(2n+2)$ è $(2n+2)x^(2n+1)$ che in simboli è $d/(dx)(x^(2n+2))=(2n+2)x^(2n+1)$
"kapooo":
2) $d/(dx){xsum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(x^(2n+1))}=d/(dx){x[sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(x^(2n+1))-x]}$ Mi chiedo il -x che è stato necessario per scalare l'indice non dovrebbe andare fuori dalla serie?? Altrimenti per $n=1,2,3...+oo$ si toglie un $-x$ quando invece va tolto solo per $n=0$ In definitiva non dovrebbe venire così?? $d/(dx){-x+x[sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(x^(2n+1))]}$
se un coefficiente si trova fuori dal simbolo di serie si intende che questo moltiplica ogni addendo di quest'ultima: in simboli
$d/(dx){xsum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(x^(2n+1))}=d/(dx){x[sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(x^(2n+1))]}=d/(dx){x[sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)!)(x^(2n+1))-x]}=d/(dx){x[sin(x)-x]}=d/(dx){xsin(x)-x^2}=sin(x)+xcos(x)-2x$
"kapooo":
3) Domandone finale generale: ma per caso esiste una regola o una strada per trovare le somme delle serie di potenza o bisogna solo avere intuito e sperare di vedere qualcosa di familiare nella serie di cui si vuol calcolare la somma per poi cercare di ricondurci ad essa con le derivate?? Se così fosse la cosa non è per nulla semplice.
Grazie del tuo aiuto
Sfortunatamente non esiste un algoritmo meccanico che funziona sempre (come nella teoria della derivazione). Per calcolare la somma di questa serie è stato necessario un po' di intuito che col tempo acquisirai; molto probabilmente quando all'inizio dei tuoi studi imparavi a calcolare un integrale, non sapevi quali tecniche (per parti, sostituzione) utilizzare o quali trucchi applicare alle funzioni per trovarne la primitiva con maggior facilità(tipo aggiungere e togliere le stesse quantità), ma poi esercitandoti avrai imparato. Qui è lo stesso! Non ti abbattere se in questo esercizio non eri riuscito ad osservare certi espendienti utili per risolverlo. In bocca al lupo e spero questa volta di essermi spiegato meglio altrimenti chiedi pure, tanto io faccio un giro ogni tanto su questo forum!
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