Somma della serie di funzioni
ho questa serie e devo calcolarne la somma
$sum_(n=1)^(+oo) (x^n)/(n(n+1))$
ho pensato di scriverla come $sum_(n=1)^(+oo) (x^n)/(n+1)$-$sum_(n=1)^(+oo) (x^n)/(n)$
della seconda serie so calcolare la somma ma ho problemi con la prima
$sum_(n=1)^(+oo) (x^n)/(n(n+1))$
ho pensato di scriverla come $sum_(n=1)^(+oo) (x^n)/(n+1)$-$sum_(n=1)^(+oo) (x^n)/(n)$
della seconda serie so calcolare la somma ma ho problemi con la prima
Risposte
La prima è uguale alla seconda, a meno di differenze trascurabili.
Prova a fare un cambiamento di indici ed a mettere in evidenza.
Prova a fare un cambiamento di indici ed a mettere in evidenza.
è venuto.grazie.
se invece ho $sum_(n=1)^(+oo) (nx^n)/((n-1)!)$
per calcolare il raggio di convergenza ho applicato il criterio del rapporto ed ottenuto R=$+oo$
quindi l'insieme di convergenza puntuale è l'insieme dei numeri reali e converge uniformemente in ogni suo sottoinsieme compatto.
se invece ho $sum_(n=1)^(+oo) (nx^n)/((n-1)!)$
per calcolare il raggio di convergenza ho applicato il criterio del rapporto ed ottenuto R=$+oo$
quindi l'insieme di convergenza puntuale è l'insieme dei numeri reali e converge uniformemente in ogni suo sottoinsieme compatto.
per il calcolo della somma :
f(x)=$sum_(n=0)^(+oo) (((n+1)x^(n+1))/(n!))$=$x[sum_(n=0)^(+oo) (x^n)/(n!) +sum_(n=0)^(+oo) (nx^n)/(n!)]$ e dopo cambi di variabile ottengo $xe^x(1+x)$
f(x)=$sum_(n=0)^(+oo) (((n+1)x^(n+1))/(n!))$=$x[sum_(n=0)^(+oo) (x^n)/(n!) +sum_(n=0)^(+oo) (nx^n)/(n!)]$ e dopo cambi di variabile ottengo $xe^x(1+x)$
se ho f(x)=$sum_(n=0)^(+oo) (x^n)/(n n!)$
per la somma ho calcolato f'(x)=$(e^x-1)/x$
ma se cerco di integrare f'(x) ottengo $int (e^x)/x dx - log x$ ma questo integrale non riesco a calcolarlo
per la somma ho calcolato f'(x)=$(e^x-1)/x$
ma se cerco di integrare f'(x) ottengo $int (e^x)/x dx - log x$ ma questo integrale non riesco a calcolarlo
Ciao
mi interesserebbe capire anche a me come arrivare al risultato, premetto che mi approccio ora all'argomento, vorrei capire perchè passi da
$sum_(n=1)^(+oo) (nx^n)/((n-1)!)$
a
$sum_(n=0)^(+oo) (((n+1)x^(n+1))/(n!))$
Non potresti vedere $(n-1)! = \frac{n!}{n-1}$ da cui $sum_(n=0)^(+oo) (n(n-1)x^(n))/(n!)$
o sbaglio qualcosa?
mi interesserebbe capire anche a me come arrivare al risultato, premetto che mi approccio ora all'argomento, vorrei capire perchè passi da
$sum_(n=1)^(+oo) (nx^n)/((n-1)!)$
a
$sum_(n=0)^(+oo) (((n+1)x^(n+1))/(n!))$
Non potresti vedere $(n-1)! = \frac{n!}{n-1}$ da cui $sum_(n=0)^(+oo) (n(n-1)x^(n))/(n!)$
o sbaglio qualcosa?
ho cambiato indice
n-1=k e quindi n=k+1 con k che va da 0 a $+oo$
poi ho rinominato k=n
n-1=k e quindi n=k+1 con k che va da 0 a $+oo$
poi ho rinominato k=n
@gbspeedy: L'indice nella serie \(\sum \frac{1}{n\ n!}\ x^n\) non può partire da zero, ma deve necessariamente partire da \(1\).
D'altra parte, la somma di quella serie non è una funzione elementare, quindi è inutile che ci sbattete la testa.
D'altra parte, la somma di quella serie non è una funzione elementare, quindi è inutile che ci sbattete la testa.
ho questa serie di funzioni $sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n (e^((x^2-3x+1)n))/n$
devo trovare convergenza puntuale,uniforme e somma della serie.
per la convergenza puntuale ho studiato quella assoluta e applicando il criterio della radice trovato che converge in $((3-sqrt(5))/2,(3+sqrt(5))/2)$
per quella uniforme non so da che parte prenderla
devo trovare convergenza puntuale,uniforme e somma della serie.
per la convergenza puntuale ho studiato quella assoluta e applicando il criterio della radice trovato che converge in $((3-sqrt(5))/2,(3+sqrt(5))/2)$
per quella uniforme non so da che parte prenderla
quindi mi posso ricondurre a una serie di potenze.
quindi converge semplicemente in D=$[(3-sqrt(5))/2,(3+sqrt(5))/2]$ e uniformemente in ogni intervallo compatto contenuto in D.
per la somma mi riconduco allo sviluppo di $log(1+x)$ e ottengo $-log(1+e^(x^2-3x+1))$
[xdom="gugo82"]Non sono consentiti "up" entro 24 ore (cfr. regolamento, 3.4).
Chiudo fino a domani.
P.S.: Ormai dovresti ben sapere che esiste il tasto Modifica.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Riaperto.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Non sono consentiti "up" entro 24 ore (cfr. regolamento, 3.4).
Chiudo fino a domani.
P.S.: Ormai dovresti ben sapere che esiste il tasto Modifica.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Riaperto.[/xdom]
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