Somma della serie a meno di un errore
Salve,
ho un grosso problema riguardante una tipologia di esercizio sulle serie numeriche, mi riferisco agli esercizi che richiedono di determinare quanti termini occorre sommare per avere un somma con un errore minore di un determinato valore.
Ad esermpio nella serie convergente
$ sum((1+n)/(5^n+n^2)) $
nel momento in cui passo al calcolo del numero di termini per ottenere un'approssimazione inferiore a $ 10^-2 $ mi trovo spaesato sul come procedere, mi spiego meglio:
quello che ho fatto io è minorare la serie nel seguente modo ( il termine $ n*(3/5)^n -> 0 $ )
$ sum((1+n)/(5^n+n^2)) <= n/5^n = n/5^n * 3^n/3^n <= (1/3)^n $
da qui il "calcolo" dell'errore
$ |Re_n| < sum_(k = n)(1/3)^n = (1/3)^k* sum_(0)(1/3)^n= (1/3)^n*3/2 $ e disequazione $ (1/3)^n*3/2 < 10^-2 $
Sperando che la risoluzione sia adeguata, nel caso contrario vi sarei grato se rettificaste
, perchè se invece di $ 3^n/3^n $ nella minorazione sostituisco $2^n/2^n $ il valore di n per cui il resto è $ < 10^-2 $ è diverso? è normale? dovrebbero venire coincidenti? :S illuminatemi pls, quanto accurato deve essere grazie in anticipo 
ho un grosso problema riguardante una tipologia di esercizio sulle serie numeriche, mi riferisco agli esercizi che richiedono di determinare quanti termini occorre sommare per avere un somma con un errore minore di un determinato valore.
Ad esermpio nella serie convergente
$ sum((1+n)/(5^n+n^2)) $
nel momento in cui passo al calcolo del numero di termini per ottenere un'approssimazione inferiore a $ 10^-2 $ mi trovo spaesato sul come procedere, mi spiego meglio:
quello che ho fatto io è minorare la serie nel seguente modo ( il termine $ n*(3/5)^n -> 0 $ )
$ sum((1+n)/(5^n+n^2)) <= n/5^n = n/5^n * 3^n/3^n <= (1/3)^n $
da qui il "calcolo" dell'errore
$ |Re_n| < sum_(k = n)(1/3)^n = (1/3)^k* sum_(0)(1/3)^n= (1/3)^n*3/2 $ e disequazione $ (1/3)^n*3/2 < 10^-2 $
Sperando che la risoluzione sia adeguata, nel caso contrario vi sarei grato se rettificaste
, perchè se invece di $ 3^n/3^n $ nella minorazione sostituisco $2^n/2^n $ il valore di n per cui il resto è $ < 10^-2 $ è diverso? è normale? dovrebbero venire coincidenti? :S illuminatemi pls, quanto accurato deve essere grazie in anticipo
Risposte
Scusami sai, però noto un po' di confusione nei tuoi ragionamenti, senza offesa.
Abbiamo questa frazione
$(1+n)/(5^n+n^2)$.
Troviamo una frazione che sia maggiore o uguale di quella data, già a partire da $n=0$.
Inoltre cerco di ricondurre tutto a una serie geometrica, di cui so calcolare la somma.
Ad esempio, $2^n>=n+1, \forall n>=0$.
E poi $1/(5^n)>=1/(5^n+n^2), \forall n>=0$.
Benissimo, ho stabilito che $(2/5)^n>(1+n)/(5^n+n^2), \forall n>=0$.
Per cui anche delle relative serie posso dire la stessa cosa.
$\sum_(n=0)^(oo)(2/5)^n>\sum_(n=0)^(oo)(1+n)/(5^n+n^2)$.
Vado a calcolare la somma della serie maggiorante, la serie geometrica di ragione $2/5$:
$\sum_(n=0)^(oo)(2/5)^n=1/(1-2/5)=5/3$.
Adesso quello che vorrei trovare è un indice, tale per cui, calcolando la somma a partire da questo indice, la somma sia minore di $10^(-2)$ ossia trovare un $k$ per cui
$\sum_(n=k)^(oo)(2/5)^n<10^(-2)$.
Come faccio a calcolare $\sum_(n=k)^(oo)(2/5)^n$ ?
Risposta: sottraggo dalla somma "completa" ($5/3$) i primi $k$ termini.
Quindi
$\sum_(n=1)^(oo)(2/5)^n=5/3-1=2/3>10^(-2)$ non ci siamo,
$\sum_(n=2)^(oo)(2/5)^n=5/3-1-2/5=4/15>10^(-2)$ non ci siamo ancora,
e si prosegue fino a trovare
$\sum_(n=6)^(oo)(2/5)^n=5/3-1-2/5-...-64/3125<10^(-2)$.
Allora
$10^(-2)>\sum_(n=6)^(oo) (2/5)^n>\sum_(n=6)^(oo)(1+n)/(5^n+n^2)$
e quindi l'approssimazione cercata è
$\sum_(n=0)^(5)(1+n)/(5^n+n^2) = 1+(1+1)/(5+1)+...+(1+5)/(3125+25)$
da calcolare esplicitamente. Fine.
Abbiamo questa frazione
$(1+n)/(5^n+n^2)$.
Troviamo una frazione che sia maggiore o uguale di quella data, già a partire da $n=0$.
Inoltre cerco di ricondurre tutto a una serie geometrica, di cui so calcolare la somma.
Ad esempio, $2^n>=n+1, \forall n>=0$.
E poi $1/(5^n)>=1/(5^n+n^2), \forall n>=0$.
Benissimo, ho stabilito che $(2/5)^n>(1+n)/(5^n+n^2), \forall n>=0$.
Per cui anche delle relative serie posso dire la stessa cosa.
$\sum_(n=0)^(oo)(2/5)^n>\sum_(n=0)^(oo)(1+n)/(5^n+n^2)$.
Vado a calcolare la somma della serie maggiorante, la serie geometrica di ragione $2/5$:
$\sum_(n=0)^(oo)(2/5)^n=1/(1-2/5)=5/3$.
Adesso quello che vorrei trovare è un indice, tale per cui, calcolando la somma a partire da questo indice, la somma sia minore di $10^(-2)$ ossia trovare un $k$ per cui
$\sum_(n=k)^(oo)(2/5)^n<10^(-2)$.
Come faccio a calcolare $\sum_(n=k)^(oo)(2/5)^n$ ?
Risposta: sottraggo dalla somma "completa" ($5/3$) i primi $k$ termini.
Quindi
$\sum_(n=1)^(oo)(2/5)^n=5/3-1=2/3>10^(-2)$ non ci siamo,
$\sum_(n=2)^(oo)(2/5)^n=5/3-1-2/5=4/15>10^(-2)$ non ci siamo ancora,
e si prosegue fino a trovare
$\sum_(n=6)^(oo)(2/5)^n=5/3-1-2/5-...-64/3125<10^(-2)$.
Allora
$10^(-2)>\sum_(n=6)^(oo) (2/5)^n>\sum_(n=6)^(oo)(1+n)/(5^n+n^2)$
e quindi l'approssimazione cercata è
$\sum_(n=0)^(5)(1+n)/(5^n+n^2) = 1+(1+1)/(5+1)+...+(1+5)/(3125+25)$
da calcolare esplicitamente. Fine.
maggiorare in questo modo è lo stesso? Il risultato sarà diverso?
$ ∑(3/5)^n>∑(1+n)/(5n+n2) $
$ ∑(3/5)^n>∑(1+n)/(5n+n2) $
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