Somma della serie

[N56VZ]

Ciao ragazzi, sto cercando di applicare la definizione di somma della serie.
Mi sono inventato una serie a caso $a_n=1/(2e^n)$, essa è ovviamente convergente.
Allora so che $s_n=a_(n+1)-s_(n+1)$
$a_0=1/2;
a_1=1/2+1/(2e);
a_2=1/2+1/(2e)+1/(2e^2)$;
Quindi ho pensato che $s_n=1/(2e^(n+1))-1/2-1/(2e^(n+1))$
E' palese che sto sbagliando qualcosa... visto che il limite mi verebbe -1/2 e non credo quella successione possa avere mai valori negativi..

[anonymous_c5d2a1]

$a_1=1/(2e)$

[N56VZ]

"anonymous_c5d2a1":$a_1=1/(2e)$

si ho sbagliato al posto di $a_1$ dovevo scrivere $s_1$

[ciampax]

La relazione corretta per le somme parziali è che
$$s_{n+1}-s_n=a_{n+1}$$
non quella che hai scritto tu.

[gugo82]

Due osservazioni.

In primis, \(a_n=\frac{1}{2e^n}\) non è una serie (casomai è la notazione usata per una successione...).
La serie che ha per addendi gli \(a_n\) definiti come sopra si denota con \(\sum a_n\), quindi nel tuo caso:
\[
\sum \frac{1}{2e^n}\; .
\]

In secondo luogo, non puoi pensare di usare la relazione ricorrente \(s_{n+1}=s_n+a_{n+1}\) per ricavare la somma della serie.
In generale, le somme delle serie si ricavano riconducendosi a serie la cui somma è nota (quindi, o serie di Taylor di funzioni elementari, o serie telescopiche oppure geometriche).
Nel tuo caso hai:
\[
\sum \frac{1}{2e^n} = \frac{1}{2} \sum \left(\frac{1}{e}\right)^n \; ,
\]
con il secondo membro che è multiplo di una serie geometrica convergente (avendo ragione \(x=1/e\in ]-1,1[\)); quindi la tua serie converge e la sua somma è:
\[
\begin{split}
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2e^n} &= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{e}\right)^n \\
&= \frac{1}{2}\ \frac{1}{1-\frac{1}{e}} \\
&= \frac{e}{2(e-1)}\; ,
\end{split}
\]
ove hai tenuto presente la relazione:
\[
\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}
\]
valida per \(|x|<1\).

[N56VZ]

Grazie mille delle risposte, ho capito!