Somma asintoticità
Ciao, amici! Se \(f(n)\sim g(n),n\to +\infty\) (e analogamente per il caso \(f(x)\sim g(x),x\to x_0\) con \(x_0\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}\)) e \(\tilde{f}(n)\sim \tilde{g}(n),n\to +\infty\), vale \((f(n)+\tilde{f}(n))\sim (g(n)+\tilde{g}(n)),n\to +\infty\)? A naso non mi sembrerebbe e vari tentativi di dimostrazione mi sono stati vani.
La domanda mi è sorta trovando questo genere di somme in una dimostrazione che ho studiato oggi, dove si tratta di casi particolari in cui effettivamente vale \(f(n)+\tilde{f}(n)\sim g(n)+\tilde{g}(n),n\to +\infty\), ma non so se si possa applicare in generale la somma tra asintoticità in questo modo, anche se ho l'impressione che non si possa.
$+\infty$ grazie!!!
La domanda mi è sorta trovando questo genere di somme in una dimostrazione che ho studiato oggi, dove si tratta di casi particolari in cui effettivamente vale \(f(n)+\tilde{f}(n)\sim g(n)+\tilde{g}(n),n\to +\infty\), ma non so se si possa applicare in generale la somma tra asintoticità in questo modo, anche se ho l'impressione che non si possa.
$+\infty$ grazie!!!
Risposte
però
$(bar(f)(n)+f(n))-(bar(g)(n)+g(n))=(bar(f)(n)-bar(g)(n))+(f(n)-g(n))$
$(bar(f)(n)+f(n))-(bar(g)(n)+g(n))=(bar(f)(n)-bar(g)(n))+(f(n)-g(n))$
Prendiamo $f(n)=g(n):=n$ e prendiamo $h(n):=-n$, $k(n):=-n+1$. Allora \(f(n)\sim g(n)\) e \(h(n)\sim k(n)\), ma $f(n)+h(n)=0$ mentre $g(n)+k(n)=1$ e non è vero che \(0\sim1\).
ma non è vero che $ h(n)~ k(n) $ per $n rarr +infty$ perchè la loro differenza non tende a zero
"stormy":
ma non è vero che $ h(n)~ k(n) $ per $n rarr +infty$ perchè la loro differenza non tende a zero
Attento, \( h(n)\sim k(n),n\to +\infty \) quando $lim_{n->+oo} (h(n))/(k(n)) = 1$ non quando $lim_{n->+oo} h(n)-k(n) = 0$
"stormy":
scusa,ma anche a livello grafico ,cosa hanno di asintotico le rette $y=x$ e $y=x+1000$ ?
Qui si tratta di mettersi d'accordo. Tu dimmi cosa intendi per \(f \sim g\) e a quel punto vediamo se la proprietà di cui parli è vera o no.
Poi può darsi che la parola "asintotico" non corrisponda bene alla "\(\sim\)", anche se è abbastanza comune usarla in quel senso.
no,avete ragione,la definizione è quella data da voi
mi sono lasciato ingannare dal concetto di asintoto per il grafico di una funzione
sorry
mi sono lasciato ingannare dal concetto di asintoto per il grafico di una funzione
sorry
Grazie di cuore a tutti, ragazzi!
@stormy: vedo che hai aggiunto di aver chiarito, ma lascio quanto avevo scritto.
Si dice che \(f(x)\sim g(x)\) per $x\to x_0$ con $x_0\in\mathbb{R}$ o $x_0=\pm\infty$ esattamente quando \(\lim_{x\to+ x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1\).
Ciò non implica in generale che \(g(x)\) sia l'equazione di un asintoto per il grafico di $f$. Se \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=m\ne 0\) e \(\lim_{x\to\infty}(f(x)-mx)=q\in\mathbb{R}\) l'asintoto obliquo per il grafico di $f$ è $mx+q$ (vale sia per $+\infty$ sia per $-\infty$). Ora, vale sì sempre che, con le costanti $m$ e $q$ definite sopra, \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{mx+q}=1\), ma se \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{ax+b}=1\) non è detto che $ax+b$ sia l'equazione di un asintoto obliquo; in altri termini: una funzione lineare il cui grafico è un asintoto obliquo per il grafico di $f$ è asintotica a $f$, ma una funzione, anche lineare, asintotica a $f$ non ha necessariamente per grafico un asintoto obliquo per il grafico di $f$.
"ViciousGoblin":Ottimo controesempio.
Prendiamo $f(n)=g(n):=n$ e prendiamo $h(n):=-n$, $k(n):=-n+1$. Allora \(f(n)\sim g(n)\) e \(h(n)\sim k(n)\), ma $f(n)+h(n)=0$ mentre $g(n)+k(n)=1$ e non è vero che \(0\sim1\).
@stormy: vedo che hai aggiunto di aver chiarito, ma lascio quanto avevo scritto.
"stormy":\(x\sim x+1000\) per $x\to +infty$ perché \(\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x+1000}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\frac{1000}{x}}=1\).
scusa,ma anche a livello grafico ,cosa hanno di asintotico le rette $ y=x $ e $ y=x+1000 $ ?
Si dice che \(f(x)\sim g(x)\) per $x\to x_0$ con $x_0\in\mathbb{R}$ o $x_0=\pm\infty$ esattamente quando \(\lim_{x\to+ x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1\).
Ciò non implica in generale che \(g(x)\) sia l'equazione di un asintoto per il grafico di $f$. Se \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=m\ne 0\) e \(\lim_{x\to\infty}(f(x)-mx)=q\in\mathbb{R}\) l'asintoto obliquo per il grafico di $f$ è $mx+q$ (vale sia per $+\infty$ sia per $-\infty$). Ora, vale sì sempre che, con le costanti $m$ e $q$ definite sopra, \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{mx+q}=1\), ma se \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{ax+b}=1\) non è detto che $ax+b$ sia l'equazione di un asintoto obliquo; in altri termini: una funzione lineare il cui grafico è un asintoto obliquo per il grafico di $f$ è asintotica a $f$, ma una funzione, anche lineare, asintotica a $f$ non ha necessariamente per grafico un asintoto obliquo per il grafico di $f$.
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