Somma a segni alterni con coefficienti binomiali

[Bianco17]

Vi sottopongo una somma per me imperscrutabile. L'esercizio, sempre dall'Alsamraee, è:
"Si calcoli la somma $\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{((n),(k))}$ per $n$ pari."
Sinceramente, questa volta non saprei dove mettere le mani: ho provato con qualche identità sui coefficienti binomiali ma non mi hanno aiutato granché. Il risultato è sicuramente $(2n+2)/(n+2)$, sapete come arrivarci?

[pilloeffe]

Ciao Bianco17,

"Bianco17":Si calcoli la somma della serie [...]

Attenzione che quella proposta non è una serie, ma una somma...

Sfruttando il carattere telescopico della somma si ha:

$ \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{((n),(k))} = [1 + (-1)^n] \frac{n + 1}{n + 2} $

Quindi si può scrivere:

$ \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{((n),(k))} = {(\frac{2n + 2}{n + 2} \text{ per } n \text{ pari }),(0 \quad \text{ per } n \text{ dispari }):} $

[Bianco17]

Mea culpa, non ci ho pensato! Sono arrivato alla soluzione poco dopo aver postato la domanda e devo dire che tutto era tranne che difficile… Mi sono fatto spaventare da quel coefficiente lì giù ahah

[pilloeffe]

"Bianco17":Mi sono fatto spaventare da quel coefficiente lì giù

Anche secondo me...
Più in generale si può dimostrare che si ha:

$ \sum_{k=0}^n (-1)^k/(((z),(k))) = [1+ (-1)^n/(((z + 1),(n + 1)))]\cdot (z + 1)/(z + 2) $

ove $ z \in \CC - {n - k : k \in \NN} $
Nel caso particolare $z = n $ si ritrova la somma proposta.