Soluzioni Sistema di eq differenziali non omogenee
io ho un po di confusione su come calcolare la soluzione particolare dei sistemi di eq differenziali... riporto un esempio preso dal zolezzi..
$\{(y'_1=y_2-1),(y'_2=y_1+1),(y_1(1)=0),(y_2(1)=-1):}$
mi ricavo l'eq del polinomio caratteristico $lambda^2-1=0 -> lambda=+-1$
quindi le soluzioni sono: $\{(y_1=C1e^x+C2e^-x),(y_2=C1e^x-C2e^-x):}$
a questo punto come trovo la soluzione particolare??
la soluzione è $\{(y_1=e^-x-1),(y_2=1-e^-x):}$
ho seguito questo metodo:
$Y(x)=phi(x)[phi^-1(X_o)Y_o +\int_(X_o)^X(phi^-1(t)B(t)dt)]$
dove $phi$ è la matrice fondamentale, B è il vettore dei termini noti.
la cosa che più di tutte non mi torna è che dopo i calcoli ottengo come soluzione:
$\{(y_1=-e^x/(2e)+e/(2e^x)+e/e^x-1),(y_2=-e^x/(2e)-e/(2e^x)-e/e^x+1):}$
e che sia la mai che la soluzione del libro soddisfano il problema di cauchy... (slavo errori di calcolo)... come è possibile?
$\{(y'_1=y_2-1),(y'_2=y_1+1),(y_1(1)=0),(y_2(1)=-1):}$
mi ricavo l'eq del polinomio caratteristico $lambda^2-1=0 -> lambda=+-1$
quindi le soluzioni sono: $\{(y_1=C1e^x+C2e^-x),(y_2=C1e^x-C2e^-x):}$
a questo punto come trovo la soluzione particolare??
la soluzione è $\{(y_1=e^-x-1),(y_2=1-e^-x):}$
ho seguito questo metodo:
$Y(x)=phi(x)[phi^-1(X_o)Y_o +\int_(X_o)^X(phi^-1(t)B(t)dt)]$
dove $phi$ è la matrice fondamentale, B è il vettore dei termini noti.
la cosa che più di tutte non mi torna è che dopo i calcoli ottengo come soluzione:
$\{(y_1=-e^x/(2e)+e/(2e^x)+e/e^x-1),(y_2=-e^x/(2e)-e/(2e^x)-e/e^x+1):}$
e che sia la mai che la soluzione del libro soddisfano il problema di cauchy... (slavo errori di calcolo)... come è possibile?
Risposte
Pur eseguendo i calcoli con un altro metodo il risultato che ottengo coincide con quello da te trovato:
$\{(y_1(x)=-1/(2)e^(x-1)+3/2e^(-x+1)-1),(y_2(x)=-1/(2)e^(x-1)-3/2e^(-x+1)+1):}$
$\{(y_1(x)=-1/(2)e^(x-1)+3/2e^(-x+1)-1),(y_2(x)=-1/(2)e^(x-1)-3/2e^(-x+1)+1):}$
quindi è possibileche esistano due soluzioni che soddisfano il problema di cauchy? mi sembra non sia possibile, per il teo di esistenza ed uncità... quindi quale è la soluzione corretta?
che metodo hai usato te?
che metodo hai usato te?
Dovresti scrivermi la soluzione del libro per verificare che sia esatta. La soluzione deve essere unica.
"Knuckles":
la soluzione è $\{(y_1=e^-x-1),(y_2=1-e^-x):}$
Quella che hai riportato non è la soluzione del sistema che hai proposto, per rendertene conto ti è sufficiente notare che non soddisfa le condizioni iniziali.
quella che ho riportato è la soluzione data dal libro...
scusa nella prima eq c'è un errore.... ho corretto..
Ricontrolla ancora, la soluzione che hai riportato dal libro non verifica le condizioni iniziali. Fai sempre una verifica con le condizioni iniziali!
l'ho fatta ma quella che ho postato è la soluzione riportata dal libro... ho visto che non soddisfa le condizioni iniziali... quindi è giusto il nostro risultato?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo