Soluzioni problema di Cauchy
Salve ho un dubbio su questo problema di Cauchy
${ y'=-t(y+ sqrt(y)) , y(0)=0 }$
Il problema non soddisfa il teorema di unicità locale e quindi non so se la soluzione è unica.
il problema ammette un soluzione stazionaria in $y=0$ e utilizzando il metodo della separazione delle variabili arrivo alla soluzione
$y=(e^(-(x^2)/4)-1)^2$ ossia una funzione che ha asintoto in $y=1$ e minimo in $(0,0)$ quindi la funzione si raccorda in $(0,0)$ con la soluzione stazionaria $y=0$
La prof svolgendo l'esercizio in classe ha detto che l'unica soluzione del problema è $(0,0)$ perchè???
Grazie in anticipo
${ y'=-t(y+ sqrt(y)) , y(0)=0 }$
Il problema non soddisfa il teorema di unicità locale e quindi non so se la soluzione è unica.
il problema ammette un soluzione stazionaria in $y=0$ e utilizzando il metodo della separazione delle variabili arrivo alla soluzione
$y=(e^(-(x^2)/4)-1)^2$ ossia una funzione che ha asintoto in $y=1$ e minimo in $(0,0)$ quindi la funzione si raccorda in $(0,0)$ con la soluzione stazionaria $y=0$
La prof svolgendo l'esercizio in classe ha detto che l'unica soluzione del problema è $(0,0)$ perchè???
Grazie in anticipo
Risposte
qualcuno che mi risponde?? 
Scusa, hai provato a controllare facendo la derivata che quella è davvero una soluzione? A me non mi torna, però può darsi che ho sbagliato qualcosa
si ho controllato mi da sempre questa soluzione
Facendo la derivata della soluzione che hai scritto ti viene l'equazione differenziale data dall'esercizio? Poi scusa, nella soluzione che hai scritto al posto di x ci dovrebbe essere t?
Scusami tu come lo hai risolto??
Facciamo le cose in maniera "brutale": se vogliamo integrare quella equazione possiamo scrivere
$$\int_0^y \frac{dz}{z+\sqrt{z}}=-\int_0^t s\ ds=-t^2/2$$
A questo punto, per l'integrale a primo membro, poniamo $\sqrt{z}=w$ da cui $z=y\to w=\sqrt{y}$ (con $y\ge 0$) e quindi, avendosi $z=w^2\, dz=2w\ dw$
$$\int_0^{\sqrt{y}}\frac{2w}{w^2+w}\ dw=2\int_0^{\sqrt{y}}\frac{1}{w+1}\ dw=2[\log(1+w)]_0^{\sqrt{y}}=2\log(1+\sqrt{y})$$
La soluzione dell'equazione è pertanto
$2\log(1+\sqrt{y})=-t^2/2$ che si riscrive come $y=(e^{-t^2/4}-1)^2$ la quale, però, mi sembra soddisfare tutte le condizioni.
Pertanto, proprio perché l'equazione non soddisfa il teorema di unicità, mi pare che sia questa che ho scritto, sia la soluzione $y=0$ siano soluzioni del problema.
$$\int_0^y \frac{dz}{z+\sqrt{z}}=-\int_0^t s\ ds=-t^2/2$$
A questo punto, per l'integrale a primo membro, poniamo $\sqrt{z}=w$ da cui $z=y\to w=\sqrt{y}$ (con $y\ge 0$) e quindi, avendosi $z=w^2\, dz=2w\ dw$
$$\int_0^{\sqrt{y}}\frac{2w}{w^2+w}\ dw=2\int_0^{\sqrt{y}}\frac{1}{w+1}\ dw=2[\log(1+w)]_0^{\sqrt{y}}=2\log(1+\sqrt{y})$$
La soluzione dell'equazione è pertanto
$2\log(1+\sqrt{y})=-t^2/2$ che si riscrive come $y=(e^{-t^2/4}-1)^2$ la quale, però, mi sembra soddisfare tutte le condizioni.
Pertanto, proprio perché l'equazione non soddisfa il teorema di unicità, mi pare che sia questa che ho scritto, sia la soluzione $y=0$ siano soluzioni del problema.
Grazie Clampax mi sembra che tu abbia saltato il $-t$ quindi il secondo membro dovrebbe essere $-t^2/2$ e riporta alla soluzione che avevo dato io però il ragionamento non cambia e io ho fatto lo stesso ragionamento che hai fatto tu grazie per la conferma
mi sembra che tu abbia saltato il $-t$ quindi il secondo membro dovrebbe essere $-t^2/2$ e riporta alla soluzione che avevo dato io però il ragionamento non cambia e io ho fatto lo stesso ragionamento che hai fatto tu grazie per la conferma
Corretto.
Ho rifatto i calcoli e mi torna. Solo mi viene il dubbio che ci può essere un inghippo. Quando non sono soddisfatte le condizioni di unicità della soluzione del problema di Cauchy, come in questo caso, a rigore non si può usare il metodo della separazione delle variabili se G(y), nel nostro caso $ y+y^(1/2) $ , si annulla per qualche y, perché nel fare la separazione della variabili si divide per G(y).Sono le condizioni di unicità che consentono di fare la separazione delle variabili anche se G(y) si annulla in alcuni punti. Mi chiedo se il procedimento della separazione della variabili qui sarebbe considerato sbagliato. Che ne dite?
(Resta il fatto che la soluzione che hai trovato, comunque trovata, anche se caduta dal cielo è giusta, e non capisco perché la prof ha detto di no, anzi ci dovrennero essere infinite soluzioni, dato che le soluzioni dovrebbero dipendere da una costante arbitraria).
(Resta il fatto che la soluzione che hai trovato, comunque trovata, anche se caduta dal cielo è giusta, e non capisco perché la prof ha detto di no, anzi ci dovrennero essere infinite soluzioni, dato che le soluzioni dovrebbero dipendere da una costante arbitraria).
Come dicevo all'inizio, quando ho iniziato a calcolare, ho usato la forza bruta. Qui sappiamo che $y+\sqrt{y}\ne 0$ se e solo se $y\ne 0,\ y\ne -1$. Ma la seconda soluzione non risulta accettabile avendo come campo di esistenza per la soluzione $y\ge 0$. Ne risulta che il problema va studiato sull'intervalo (per $y$) della forma $(0,+\infty)$ al fine di ottenere la soluzione che ho scritto, mentre si vede immediatamente che la soluzione banale è accettabile. Pertanto... cosa ne puoi concludere?
Per seconda soluzione che intendi? $ (e^(-t^2/4)-1)^2 $ ?
Ne risulta che il problema va studiato sull'intervalo (per $y$) della forma $(0,+\infty)$ al fine di ottenere la soluzione che ho scritto, mentre si vede immediatamente che la soluzione banale è accettabile. Pertanto... cosa ne puoi concludere?[/quote]
Io concluderei che si usa la separazione delle variabili nell'intervallo $ (0,+oo) $ per ottenere la soluzione che hai scritto, poi, per così dire, ci azzecca a mano il punto y=0, e si trova una soluzione del problema di Cauchy diversa da quella banale.
Quidi la prof si sarebbe sbagliata a dire che c'è solo la soluzione banale?
Io concluderei che si usa la separazione delle variabili nell'intervallo $ (0,+oo) $ per ottenere la soluzione che hai scritto, poi, per così dire, ci azzecca a mano il punto y=0, e si trova una soluzione del problema di Cauchy diversa da quella banale.
Quidi la prof si sarebbe sbagliata a dire che c'è solo la soluzione banale?
Sì e no: la soluzione con l'esponenziale, come dicevi, la puoi estendere per continuità fino al valore zero. Tuttavia essa non si raccorda con la soluzione banale che è l'unica effettivamente definita in tale punto.
Scusami, non capisco perché non si raccorda. La soluzione con l'esponenziale non la si può definire pure in zero dove vale zero?
Sono perplessa, tutto ciò mi perplime
Sono perplessa, tutto ciò mi perplime
La soluzione con l'esponenziale puoi estenderla in zero, certo, e lo dicevo prima. Il fatto è che non puoi "deformarla" fino a farla diventare la soluzione banale, per cui quest'ultima resta una soluzione singolare.
ci penserò su, mumble mumble... Comunque grazie a te e a bjunior per le osservazioni.
scusate se riesumo questo post:
possiamo fare lo stesso ragionamento quindi su questo esercizio $ {y'=2tsqrt(3-y) , y(5)=3} $ quindi non vale il teorema di esistenza e unicità locale nell'intorno di $(5,3)$
svolgendo il problema con il metodo della separazione delle variabili si ha $y(t)=3-((25-t^2)/2)^2$ che è una soluzione che diciamo non si raccorda con continuità con la soluzione stazionaria quindi la soluzione stazionaria $y(t)=3$ è l'unica soluzione giusto??
possiamo fare lo stesso ragionamento quindi su questo esercizio $ {y'=2tsqrt(3-y) , y(5)=3} $ quindi non vale il teorema di esistenza e unicità locale nell'intorno di $(5,3)$
svolgendo il problema con il metodo della separazione delle variabili si ha $y(t)=3-((25-t^2)/2)^2$ che è una soluzione che diciamo non si raccorda con continuità con la soluzione stazionaria quindi la soluzione stazionaria $y(t)=3$ è l'unica soluzione giusto??
Ciao bjunior, grazie per aver ripreso l'argomento. E' interessante e non ho le idee chiare. Non voglio risponderti di getto, di getto mi verrebbe da dire' perché la soluzione che hai trovato con la separazione delle variabili non si raccorda con la soluzione costante?'. Ma voglio prima pensarci su, vado prima a risfoderare qualche libro di equazioni differenziali.
neanche a me è chiaro l'argomento e domani ho l'esame tipo in quest'altro esercizio che ho fatto a lezione $ {y'=sqrt(y)sin(t) , y(0)=0}$ ha come soluzione stazionaria $y(t)=0$ e non vale il teorema di unicità in $(0,0)$ e la soluzione con la separazione delle variabili è $y(t)=((1-cos(t))/2)^2$ che si raccorda infinite volte con la soluzione stazionaria in quanto ha infiniti punti di minimo in $y=0$ e la prof ha detto che ci sono infinite soluzioni poiche possiamo dividere la curva come vogliamo in quanto si raccorda infinite volte con la soluzione stazionaria ma se ragioniamo come abbiamo ragionato prima ci dovrebbe essere solo la soluzione stazionaria quindi non ne ho la minima idea
tipo in quest'altro esercizio che ho fatto a lezione $ {y'=sqrt(y)sin(t) , y(0)=0}$ ha come soluzione stazionaria $y(t)=0$ e non vale il teorema di unicità in $(0,0)$ e la soluzione con la separazione delle variabili è $y(t)=((1-cos(t))/2)^2$ che si raccorda infinite volte con la soluzione stazionaria in quanto ha infiniti punti di minimo in $y=0$ e la prof ha detto che ci sono infinite soluzioni poiche possiamo dividere la curva come vogliamo in quanto si raccorda infinite volte con la soluzione stazionaria ma se ragioniamo come abbiamo ragionato prima ci dovrebbe essere solo la soluzione stazionaria quindi non ne ho la minima idea
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