Soluzioni problema di Cauchy
Salve ho un dubbio su questo problema di Cauchy
${ y'=-t(y+ sqrt(y)) , y(0)=0 }$
Il problema non soddisfa il teorema di unicità locale e quindi non so se la soluzione è unica.
il problema ammette un soluzione stazionaria in $y=0$ e utilizzando il metodo della separazione delle variabili arrivo alla soluzione
$y=(e^(-(x^2)/4)-1)^2$ ossia una funzione che ha asintoto in $y=1$ e minimo in $(0,0)$ quindi la funzione si raccorda in $(0,0)$ con la soluzione stazionaria $y=0$
La prof svolgendo l'esercizio in classe ha detto che l'unica soluzione del problema è $(0,0)$ perchè???
Grazie in anticipo
${ y'=-t(y+ sqrt(y)) , y(0)=0 }$
Il problema non soddisfa il teorema di unicità locale e quindi non so se la soluzione è unica.
il problema ammette un soluzione stazionaria in $y=0$ e utilizzando il metodo della separazione delle variabili arrivo alla soluzione
$y=(e^(-(x^2)/4)-1)^2$ ossia una funzione che ha asintoto in $y=1$ e minimo in $(0,0)$ quindi la funzione si raccorda in $(0,0)$ con la soluzione stazionaria $y=0$
La prof svolgendo l'esercizio in classe ha detto che l'unica soluzione del problema è $(0,0)$ perchè???
Grazie in anticipo
Risposte
"bjunior":
neanche a me è chiaro l'argomento e domani ho l'esametipo in quest'altro esercizio che ho fatto a lezione $ {y'=sqrt(y)sin(t) , y(0)=0}$ ha come soluzione stazionaria $y(t)=0$ e non vale il teorema di unicità in $(0,0)$ e la soluzione con la separazione delle variabili è $y(t)=((1-cos(t))/2)^2$ che si raccorda infinite volte con la soluzione stazionaria in quanto ha infiniti punti di minimo in $y=0$ e la prof ha detto che ci sono infinite soluzioni poiche possiamo dividere la curva come vogliamo in quanto si raccorda infinite volte con la soluzione stazionaria ma se ragioniamo come abbiamo ragionato prima ci dovrebbe essere solo la soluzione stazionaria quindi non ne ho la minima idea
Gulp! hai domani l'esame! Senti, non vorrei dire fesserie, ma il modo di ragionare giusto mi sembra quest'ultimo, non riesco a capire perché negli altri casi c'è solo la soluzione stazionaria, non ci arrivo proprio. Ho poco fa guardato un esempio in cui non c'è unicità sulle dispense di un professore che insegna equazioni differenziali alla Sapienza ( è molto bravo, tra i migliori studiosi di equadiff in Italia), e ci sono infinite soluzioni al problema di Cauchy. Me lo riguardo e si ti può interessare più tardi te lo mando.
si grazie mille gentilissima
a dopo!
Copio dalle dispense di cui ti dicevo.
"Si consideri il problema di Cauchy:
$ y'(x)=sqrt(|y(x)|,) $ $ y(0)=0 $ .
Siano $ a< 0< b $ e sia
$ y(a,b)(x)={ ( -(x-a)^2/4 ) se $ x<= a
$( 0 se $ a< x< b $ ),( (x-b)^2/4 ) $ x>= b $ :} $ .
Si verifica facilmente che, qualsiasi siano a e b, y(a,b)(x) è una funzione di classe C1(R) che risolve il problema di Cauchy. Pertanto il problema di Cauchy ha infinite soluzioni. Si noti che la funzione $ f(x,y)= sqrt(|y|) $ non è lipschitziana rispetto a y in y=0, ovvero nel valore iniziale del problema di Cauchy".
Mi sembra molto semplice, oltre la soluzione costante ci sono infinite soluzioni (scusa come ho scritto quella funzione, ma mi sono accapigliata con le parentesi graffe). Ti cito questo esempio perché è di un prof di cui ho totale fiducia.
Ho trovato altri esercizi svolti di casi in cui non c'è lipschitzianità su Marcellini Sbordone- Esercitazioni di matematica, e ci sono sempre infinite soluzioni (quasi sempre trovate con la separazione delle variabili). Non trovo esempi, nei libri che ho, in cui c'è solo la soluzione costante nel caso in cui le condizioni di unicità non sono rispettate, anche se esisteranno.
A me il tutto sembra abbastanza semplice, ma potrebbe esserci qualcosa che mi sfugge. Visto che devi fare l'esame domani, io non mi complicherei tanto la vita, mi atterrei a quegli esempi che trovi su libri diffusi (come ad es. Marcellini Sbordone, ma ho visto anche il Giusti, ci sono esempi di infinite soluzioni) di cui ti dicevo.
"Si consideri il problema di Cauchy:
$ y'(x)=sqrt(|y(x)|,) $ $ y(0)=0 $ .
Siano $ a< 0< b $ e sia
$ y(a,b)(x)={ ( -(x-a)^2/4 ) se $ x<= a
$( 0 se $ a< x< b $ ),( (x-b)^2/4 ) $ x>= b $ :} $ .
Si verifica facilmente che, qualsiasi siano a e b, y(a,b)(x) è una funzione di classe C1(R) che risolve il problema di Cauchy. Pertanto il problema di Cauchy ha infinite soluzioni. Si noti che la funzione $ f(x,y)= sqrt(|y|) $ non è lipschitziana rispetto a y in y=0, ovvero nel valore iniziale del problema di Cauchy".
Mi sembra molto semplice, oltre la soluzione costante ci sono infinite soluzioni (scusa come ho scritto quella funzione, ma mi sono accapigliata con le parentesi graffe). Ti cito questo esempio perché è di un prof di cui ho totale fiducia.
Ho trovato altri esercizi svolti di casi in cui non c'è lipschitzianità su Marcellini Sbordone- Esercitazioni di matematica, e ci sono sempre infinite soluzioni (quasi sempre trovate con la separazione delle variabili). Non trovo esempi, nei libri che ho, in cui c'è solo la soluzione costante nel caso in cui le condizioni di unicità non sono rispettate, anche se esisteranno.
A me il tutto sembra abbastanza semplice, ma potrebbe esserci qualcosa che mi sfugge. Visto che devi fare l'esame domani, io non mi complicherei tanto la vita, mi atterrei a quegli esempi che trovi su libri diffusi (come ad es. Marcellini Sbordone, ma ho visto anche il Giusti, ci sono esempi di infinite soluzioni) di cui ti dicevo.
si grazie avevo visto anche io questo esempio che si chiama il "Pennello di Peano" e infatti io mi basavo proprio su questo esempio grazie mille per l'aiuto
grazie mille per l'aiuto
Ah si, hai ragione, si chiama il pennello di Peano! Allora in bocca al lupo per l'esame!
crepiiiiiiii
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