Soluzioni non banali di un sistema
Ho trovato questo sistema in un testo:
\[
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \exp\left( -\imath \frac{\omega l}{c+v}\right) & \exp \left( \imath \frac{\omega l}{c-v} \right) \end{bmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} D \\ E\end{pmatrix}
= (0,0)
\]
In seguito dice che per soluzioni non banali di D ed E dobbiamo avere che
\[
\exp \left( \imath\ \omega l\ \frac{2c}{c^2-v^2} \right) -1=0
\]
Penso che parta dal calcolo del determinante ma non riesco davvero a capire come poi ricavi questa equazione.
Qualcuno ha qualche idea su come arrivarci?
Un grazie a chiunque ci voglia provare.
\[
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \exp\left( -\imath \frac{\omega l}{c+v}\right) & \exp \left( \imath \frac{\omega l}{c-v} \right) \end{bmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} D \\ E\end{pmatrix}
= (0,0)
\]
In seguito dice che per soluzioni non banali di D ed E dobbiamo avere che
\[
\exp \left( \imath\ \omega l\ \frac{2c}{c^2-v^2} \right) -1=0
\]
Penso che parta dal calcolo del determinante ma non riesco davvero a capire come poi ricavi questa equazione.
Qualcuno ha qualche idea su come arrivarci?
Un grazie a chiunque ci voglia provare.
Risposte
Uguaglia a $0$ il determinante della matrice, ed effettua un raccoglimento del tipo $e^x-e^y = e^y(e^{x-y} - 1)$.
ok vado a ripassarmi le proprietà delle potenze... 
Grazie mille!
[xdom="gugo82"]Più che altro, io ripasserei il regolamento.
Ingrandire a dismisura i caratteri delle formule è equiparabile allo scrivere tutto in grassetto o maiuscolo, ed equivale ad urlare.
Dato che non siamo una comunità di scimmie urlatrici, in cui viene aiutato solo chi più alza la voce, gradiremmo che tu riducessi immediatamente la dimensione dei caratteri nel post precedente.
Grazie.[/xdom]
Grazie mille!
[xdom="gugo82"]Più che altro, io ripasserei il regolamento.
Ingrandire a dismisura i caratteri delle formule è equiparabile allo scrivere tutto in grassetto o maiuscolo, ed equivale ad urlare.
Dato che non siamo una comunità di scimmie urlatrici, in cui viene aiutato solo chi più alza la voce, gradiremmo che tu riducessi immediatamente la dimensione dei caratteri nel post precedente.
Grazie.[/xdom]
Così si sarebbe presentato il sistema che ho scritto in grande se non avessi ingrandito
[size=100]$[[1,1],[e^((-iwl)/(c+v)),e^((iwl)/(c-v))]]$$((D),(E))=0$
[/size]
e
[size=100]$e^((iwl)(2c/(c^2-v^2)))-1=0$
[/size]
non sarebbe stato molto chiaro penso...
Visto che l'editor da la possibilità di ingrandire il testo non vedo perché non si debba sfruttare questa funzionalità quando necessario.
[xdom="gugo82"]Ho modificato il tuo primo post.
Come vedi non c'è bisogno d'[size=200]ingrandire i caratteri[/size]; basta solo sfruttare le vere funzionalità del forum, come nostro compilatore TeX (altrimenti che cosa lo abbiamo installato a fare?).
Buona serata.[/xdom]
[size=100]$[[1,1],[e^((-iwl)/(c+v)),e^((iwl)/(c-v))]]$$((D),(E))=0$
[/size]
e
[size=100]$e^((iwl)(2c/(c^2-v^2)))-1=0$
[/size]
non sarebbe stato molto chiaro penso...
Visto che l'editor da la possibilità di ingrandire il testo non vedo perché non si debba sfruttare questa funzionalità quando necessario.
[xdom="gugo82"]Ho modificato il tuo primo post.
Come vedi non c'è bisogno d'[size=200]ingrandire i caratteri[/size]; basta solo sfruttare le vere funzionalità del forum, come nostro compilatore TeX (altrimenti che cosa lo abbiamo installato a fare?).
Buona serata.[/xdom]
OT
Ciao, un parere e una domanda, visto che anche io sono stato richiamato per lo stesso motivo.
Il parere, per quello che può contare il mio parere, è che anche io sono d'accordo con l'utente. In pratica hai usato il "\ [" al posto del "\ (" e hai inserito le potenze come funzioni $exp$. Il "\ [" attiva il display mode che mette le formule a centro pagina e così facendo ingrandisci il post un casino, con il rischio anche di far perdere pezzi qua e la a chi legge, se il post è lungo. Lo scopo di Latex (e il motivo per cui è nato) è proprio quello di visualizzare le formule "naturalmente", come noi le scriviamo sui fogli, con le potenze come si scrivono normalmente con l'esponente in alto a destra della base, senza ricorrere a complicazioni da linguaggi di programmazione.
Detto questo, la domanda è: Se la base delle potenze al posto di essere $e$ era $34$ come la dobbiamo inserire? $pow(34, i w l)$ ? E la potenza di potenza? $pow(pow(a,b),c) = pow(a,b*c)$ ?
Te lo chiedo per il futuro ....
[xdom="gugo82"]Quello che segue non è un richiamo, ma un punto di vista del tutto personale sulla questione...
De notatione:
Una regola generale è: le notazioni esistenti vanno utilizzate quando serve, in modo da avere la migliore rappresentazione grafica possibile per una formula.
Visto che non esiste unicamente la notazione \(e^x\) per l'esponenziale, ma anche (ad esempio) \(\exp x\), e dato che quest'ultima rende più leggibile la formula rispetto all'altra, è chiaro che \(\exp x\) vada preferita alla notazione "standard".
Nel caso di altre basi, esistono notazioni equivalenti che vanno preferite a quella "standard" quando servono per dare maggiore leggibilità ad una formula.
Altri esempi.
Per denotare il sottospazio vettoriale generato da \(S\neq \varnothing\) si può denotare con \(\text{span} S\) oppure con \(\langle S\rangle\); tuttavia, se le parentesi angolari sono usate per denotare il prodotto scalare (e.g. \(\langle \cdot, \cdot \rangle\)), è chiaro che non è opportuno usare la seconda notazione.
Allo stesso modo, si possono usare \(\text{int} S\) ed \(S^\circ\) per denotare l'interno topologico di un insieme; ma la seconda notazione non è opportuno usarla in Geometria Convessa, perchè il pallino si usa per denotare l'insieme polare di \(S\).
Etc...
Per quanto riguarda il display, quella è la modalità standard del TeX per le formule "fuori corpo"; quindi non vedo cosa ci sia di strano ad usarla quando è opportuno.
Spero di aver chiarito il punto di vista.[/xdom]
basta solo sfruttare le vere funzionalità del forum, come nostro compilatore TeX (altrimenti che cosa lo abbiamo installato a fare?).
Ciao, un parere e una domanda, visto che anche io sono stato richiamato per lo stesso motivo.
Il parere, per quello che può contare il mio parere, è che anche io sono d'accordo con l'utente. In pratica hai usato il "\ [" al posto del "\ (" e hai inserito le potenze come funzioni $exp$. Il "\ [" attiva il display mode che mette le formule a centro pagina e così facendo ingrandisci il post un casino, con il rischio anche di far perdere pezzi qua e la a chi legge, se il post è lungo. Lo scopo di Latex (e il motivo per cui è nato) è proprio quello di visualizzare le formule "naturalmente", come noi le scriviamo sui fogli, con le potenze come si scrivono normalmente con l'esponente in alto a destra della base, senza ricorrere a complicazioni da linguaggi di programmazione.
Detto questo, la domanda è: Se la base delle potenze al posto di essere $e$ era $34$ come la dobbiamo inserire? $pow(34, i w l)$ ? E la potenza di potenza? $pow(pow(a,b),c) = pow(a,b*c)$ ?
Te lo chiedo per il futuro ....
[xdom="gugo82"]Quello che segue non è un richiamo, ma un punto di vista del tutto personale sulla questione...
De notatione:
Una regola generale è: le notazioni esistenti vanno utilizzate quando serve, in modo da avere la migliore rappresentazione grafica possibile per una formula.
Visto che non esiste unicamente la notazione \(e^x\) per l'esponenziale, ma anche (ad esempio) \(\exp x\), e dato che quest'ultima rende più leggibile la formula rispetto all'altra, è chiaro che \(\exp x\) vada preferita alla notazione "standard".
Nel caso di altre basi, esistono notazioni equivalenti che vanno preferite a quella "standard" quando servono per dare maggiore leggibilità ad una formula.
Altri esempi.
Per denotare il sottospazio vettoriale generato da \(S\neq \varnothing\) si può denotare con \(\text{span} S\) oppure con \(\langle S\rangle\); tuttavia, se le parentesi angolari sono usate per denotare il prodotto scalare (e.g. \(\langle \cdot, \cdot \rangle\)), è chiaro che non è opportuno usare la seconda notazione.
Allo stesso modo, si possono usare \(\text{int} S\) ed \(S^\circ\) per denotare l'interno topologico di un insieme; ma la seconda notazione non è opportuno usarla in Geometria Convessa, perchè il pallino si usa per denotare l'insieme polare di \(S\).
Etc...
Per quanto riguarda il display, quella è la modalità standard del TeX per le formule "fuori corpo"; quindi non vedo cosa ci sia di strano ad usarla quando è opportuno.
Spero di aver chiarito il punto di vista.[/xdom]
Copio dalla "guida per scrivere formule"
"Per usare TeX, è sufficiente scrivere la formula usando la sintassi TeX e poi includerla dentro tex e /tex (circondati da parentesi quadre). Esempio: x2 .
Non diamo qui particolari istruzioni, assumendo che questa opportunità venga utilizzata da chi già conosce TeX (o LaTeX)."
Io non conosco TeX quindi uso le funzionalità standard del forum, come assunto da chi ha scritto la "guida per scrivere formule".
Ho cercato rendere più chiara possibile la domanda con gli strumenti a mia disposizione(cioè quelli che conosco).
Chiedo scusa se qualcuno ha pensato che stessi gridando un espressione matematica come una scimmia urlatrice...
[xdom="gugo82"]Scuse accettate, Spiral.
Ovviamente non ti imputavo la scarsa conoscenza di TeX, quanto un uso non meglio giustificato di formule "enormi".
Se avessi descritto il problema nel post, ci avrei messo una pezza io senza richiamarti.
Inoltre, grazie per la segnalazione: ho aggiunto un pezzo in cui si spiega la sintassi "base" del MathJax alla pagina delle formule (qui).[/xdom]
"Per usare TeX, è sufficiente scrivere la formula usando la sintassi TeX e poi includerla dentro tex e /tex (circondati da parentesi quadre). Esempio: x2 .
Non diamo qui particolari istruzioni, assumendo che questa opportunità venga utilizzata da chi già conosce TeX (o LaTeX)."
Io non conosco TeX quindi uso le funzionalità standard del forum, come assunto da chi ha scritto la "guida per scrivere formule".
Ho cercato rendere più chiara possibile la domanda con gli strumenti a mia disposizione(cioè quelli che conosco).
Chiedo scusa se qualcuno ha pensato che stessi gridando un espressione matematica come una scimmia urlatrice...
[xdom="gugo82"]Scuse accettate, Spiral.
Ovviamente non ti imputavo la scarsa conoscenza di TeX, quanto un uso non meglio giustificato di formule "enormi".
Se avessi descritto il problema nel post, ci avrei messo una pezza io senza richiamarti.
Inoltre, grazie per la segnalazione: ho aggiunto un pezzo in cui si spiega la sintassi "base" del MathJax alla pagina delle formule (qui).[/xdom]
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