Soluzioni massimali delle equazioni di Cauchy
Salve, ho un problema riguardo la comprensione delle dispense del mio prof. quando tratta appunto del teorema di esistenza e delle soluzioni massimali di un'equazione di Cauchy.
Intanto indico:
$u'(t) = A(t)B(u(t))$
$u(t_0) = u_0$
e A è definita e continua in un intervallo $I_1$, mentre B è definita e continua in un intervallo $I_2$.
Ora passo allo studio delle casistiche. Dunque se $u_0$ è tra due radici di B e $B(u_0)$ diverso da 0 allora esiste una sola soluzione su tutto $I_1$. E fin qui va bene.
Poi trovo che se ho $B(u_0) = 0$ allora la funzione $u(t) = u_0$ per ogni t è soluzione.
Infine ho che se $u_0$ non è radice di B, ma è interno a $I_2$, alora esiste una sola soluzione definita in un opportuno intervallo, che è definito dall'equazione
$\int_(u_0)^u(1/(B(x))dx = \int_(t_0)^tA(x)dx$
Ora mi vengono in mente tre domande che generano altre domande.
La prima è: come decido questo intervallo? voglio dire, ho un'equazione che potrebbe non essere definita in qualche punto interno al suo campo di esistenza, quindi in pratica il suo $C.E$ mi diventa l'unione di due distinti intervalli. Quale dei due è quello giusto in cui la soluzione è unica? è quell'unico intervallo che contiene $t_0$?
Inoltre, se non ho la fortuna di essere in uno dei tre casi descritti, come procedo?
ad esempio se $u_0$ non appartiene al C.E di B, cosa devo fare? se succede l'integrale
$\int_(u_0)^uB(x)dx$ perde di significato proprio in virtù del fatto che $u_0$ non appartiene al C.E di B, quindi cosa devo fare? è un integrale improprio?
Infine, nel primo caso discusso, ovvero $B(u_0) = 0$, dopo aver trovato la funzione costante $u_(t) = u_0$ cosa dovrei fare? Ne cerco un'altra in un intervallo da capire, ma che intervallo è? oppure devo considerare il solito problema di Cauchy con dato iniziale generico e vedere quale delle soluzioni è tale che $B(u_0) = 0$? e nel caso questa soluzione è unica?
Vi ringrazio per la pazienza
Intanto indico:
$u'(t) = A(t)B(u(t))$
$u(t_0) = u_0$
e A è definita e continua in un intervallo $I_1$, mentre B è definita e continua in un intervallo $I_2$.
Ora passo allo studio delle casistiche. Dunque se $u_0$ è tra due radici di B e $B(u_0)$ diverso da 0 allora esiste una sola soluzione su tutto $I_1$. E fin qui va bene.
Poi trovo che se ho $B(u_0) = 0$ allora la funzione $u(t) = u_0$ per ogni t è soluzione.
Infine ho che se $u_0$ non è radice di B, ma è interno a $I_2$, alora esiste una sola soluzione definita in un opportuno intervallo, che è definito dall'equazione
$\int_(u_0)^u(1/(B(x))dx = \int_(t_0)^tA(x)dx$
Ora mi vengono in mente tre domande che generano altre domande.
La prima è: come decido questo intervallo? voglio dire, ho un'equazione che potrebbe non essere definita in qualche punto interno al suo campo di esistenza, quindi in pratica il suo $C.E$ mi diventa l'unione di due distinti intervalli. Quale dei due è quello giusto in cui la soluzione è unica? è quell'unico intervallo che contiene $t_0$?
Inoltre, se non ho la fortuna di essere in uno dei tre casi descritti, come procedo?
ad esempio se $u_0$ non appartiene al C.E di B, cosa devo fare? se succede l'integrale
$\int_(u_0)^uB(x)dx$ perde di significato proprio in virtù del fatto che $u_0$ non appartiene al C.E di B, quindi cosa devo fare? è un integrale improprio?
Infine, nel primo caso discusso, ovvero $B(u_0) = 0$, dopo aver trovato la funzione costante $u_(t) = u_0$ cosa dovrei fare? Ne cerco un'altra in un intervallo da capire, ma che intervallo è? oppure devo considerare il solito problema di Cauchy con dato iniziale generico e vedere quale delle soluzioni è tale che $B(u_0) = 0$? e nel caso questa soluzione è unica?
Vi ringrazio per la pazienza
Risposte
La soluzione $u_t=u_0$ non è soluzione ovunque nel caso in cui $u_0$ è uno zero di $B$.... è soluzione solo per $t$ che varia nel dominio di $A$, se no non puoi nemmeno scrivere l'equazione.
Poi non ho capito il tuo dubbio su $u_0$ che possa non appartenere al dominio di $B$... come fa ad essere $B(u_0)=0$ e $u_0$ non appartenere al dominio di $B$??
Poi non ho capito il tuo dubbio su $u_0$ che possa non appartenere al dominio di $B$... come fa ad essere $B(u_0)=0$ e $u_0$ non appartenere al dominio di $B$??
Sì non l'ho specificato nel primo caso.
Per quanto riguarda il dubbio su $u_0$ non ho capito quello che chiedi, l'unica volta che ho scritto $B(u_0) = 0$ è nel caso in cui appunto $u_0$ appartiene al dominio di B, e anzi è sua radice. Il caso $u_0$ non appartenente al dominio di B è un altro, ovvero è il caso in cui ho $u(t_0) = u_0$ non appartenente al campo di esistenza di B... puoi riportarmi le frasi che non sono riuscito a spiegare bene?
Per quanto riguarda il dubbio su $u_0$ non ho capito quello che chiedi, l'unica volta che ho scritto $B(u_0) = 0$ è nel caso in cui appunto $u_0$ appartiene al dominio di B, e anzi è sua radice. Il caso $u_0$ non appartenente al dominio di B è un altro, ovvero è il caso in cui ho $u(t_0) = u_0$ non appartenente al campo di esistenza di B... puoi riportarmi le frasi che non sono riuscito a spiegare bene?
Quello che non capisco è il problema che ti fai se non stai nel dominio di $B$.... come fai a dire che $u_0$ è uno zero di $B$ che non sta nel suo dominio?? Per questo genere di esercizi solitamente il dominio è il più grande sottoinsieme di $\RR$ in cui $B$ può essere ben definita.... quindi se puoi affermare che $B(u_0)=0$ come fa $u_0$ a non stare nel dominio?
Allora c'è un po' di confusione. Ci sono due casi distinti che non mi tornano.
Il primo è come devo muovermi se $u_0$ è radice di B. Ho come soluzione la funzione costante $u(t)=u_0$. Però magari voglio trovare anche una funzione più interessante da studiare. Però per trovarla come devo fare? Risolvo normalmente?
L'altro caso è totalmente diverso. Come dato iniziale ho $u(t_0)= u_0$. Però $u_0$ non appartiene al dominio di B. Come vedi non ho parlato di $B(u_0)$, che in questo caso non è neanche definito. Ad esempio considero il seguente problema di Cauchy:
$u'(t) = 2tant/(u(t))$
$u_(1) = 0$
ora B è la funzione $1/x$ che non è definita in 0. Però il mio dato iniziale $u_0$ è 0. Si può risolvere un problema così?
Il primo è come devo muovermi se $u_0$ è radice di B. Ho come soluzione la funzione costante $u(t)=u_0$. Però magari voglio trovare anche una funzione più interessante da studiare. Però per trovarla come devo fare? Risolvo normalmente?
L'altro caso è totalmente diverso. Come dato iniziale ho $u(t_0)= u_0$. Però $u_0$ non appartiene al dominio di B. Come vedi non ho parlato di $B(u_0)$, che in questo caso non è neanche definito. Ad esempio considero il seguente problema di Cauchy:
$u'(t) = 2tant/(u(t))$
$u_(1) = 0$
ora B è la funzione $1/x$ che non è definita in 0. Però il mio dato iniziale $u_0$ è 0. Si può risolvere un problema così?
No, non è un problema ben posto.
Ok, perché non lo è? e per le altre 2 domande che risposte ho?
Se $u_0=u(t_0)$ non è uno zero di $B$ allora in un intorno di $t_0$ abbastanza piccolo l'equazione $u'(t)=A(t)B(u(t))$ la riscrivi come $(u'(t))/(B(u(t)))=A(t)$ e procedi in modo standard.
Se $u_0=u(t_0)$ è uno zero di $B$ allora l'unica soluzione del problema dato (in condizioni tali per cui ce ne sia solo una) è $u(t)=u_0$ per ogni $t$ che sta nel dominio di $A$.
Infine non ha nessun senso dare un problema di Cauchy in cui si richiede che la soluzione parta da un valore che non rende ben definita l'equazione stessa: se $u(t_0)=u_0$ e $u_0$ non sta nel dominio di $B$ non ha nessun senso chiedere di risolvere l'equazione $u'(t)=A(t)B(u(t))$ dal momento che all'istante iniziale dovrebbe essere $u'(t_0)=A(t_0)B(u_0)$.
Se $u_0=u(t_0)$ è uno zero di $B$ allora l'unica soluzione del problema dato (in condizioni tali per cui ce ne sia solo una) è $u(t)=u_0$ per ogni $t$ che sta nel dominio di $A$.
Infine non ha nessun senso dare un problema di Cauchy in cui si richiede che la soluzione parta da un valore che non rende ben definita l'equazione stessa: se $u(t_0)=u_0$ e $u_0$ non sta nel dominio di $B$ non ha nessun senso chiedere di risolvere l'equazione $u'(t)=A(t)B(u(t))$ dal momento che all'istante iniziale dovrebbe essere $u'(t_0)=A(t_0)B(u_0)$.
Ok ma nel caso che la funzione che viene fuori dalla risoluzione degli integrali non fosse continua? In quale dei vari intervalli, la cui unione è il campo di esistenza della funzione, la soluzione è unica? Sul mio libro c'è scritto:
"La soluzione dell'equazione:
$\int_(u_0)^u1/(B(x))dx = \int_(t_0)^tA(x)dx$
definisce un intervallo I, con $t_0 in I$ ed una unica $u:I->J$ soluzione."
Questo mi fa pensare che se ho come dominio della funzione un unione di più intervalli disgiunti devo scegliere l'unico intervallo in cui si trova $t_0$. Giusto?
"La soluzione dell'equazione:
$\int_(u_0)^u1/(B(x))dx = \int_(t_0)^tA(x)dx$
definisce un intervallo I, con $t_0 in I$ ed una unica $u:I->J$ soluzione."
Questo mi fa pensare che se ho come dominio della funzione un unione di più intervalli disgiunti devo scegliere l'unico intervallo in cui si trova $t_0$. Giusto?
La continuità della soluzione (che è obbligatoria solo perchè $u$ è soluzione, e quindi deve essere almeno derivabile) non c'entra niente col fatto che possa essere definita su un insieme che è unione di intervalli disgiunti. Il punto della questione è che quando uno risolve l'equazione con la formula che hai illustrato sta risolvendo, per così dire, il problema al contrario. Ovvero se $u$ è una soluzione dell'equazione data allora $u$ deve verificare la formula risolutiva che hai scritto. Va da sé quindi il fatto che alla fine l'intervallo di definizione della soluzione massimale sarà l'unico intervallo che contiene $t_0$.
ok ti ringrazio per l'aiuto e per la pazienza.
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