Soluzioni equazioni differenziali
non mi è chiaro come si determina il codominio nella soluzione delle eq differenziali, mi spiego meglio. in un problema, dato un sistema di eq differenziali, mi si chiede di provare che due funzioni E ed F sono integrali primi e dimostrare che le soluzioni massimali sono definite su tutto $RR$. il sistema è il seguente:
x' = yz
y' = -xz
z' = -xy
$E = x^2 + y^2$
$F = x^2 + z^2$
in classe il prof ha detto che bastava far vedere che la soluzione (x,y,z) era limitata in modulo (mi pare abbia sfruttato la massimalità dell'intervallo), però non capisco come abbia fatto a sapere a priori che il codominio di (x,y,z) fosse $RR^3$, e in tal caso mi ritroverei.
x' = yz
y' = -xz
z' = -xy
$E = x^2 + y^2$
$F = x^2 + z^2$
in classe il prof ha detto che bastava far vedere che la soluzione (x,y,z) era limitata in modulo (mi pare abbia sfruttato la massimalità dell'intervallo), però non capisco come abbia fatto a sapere a priori che il codominio di (x,y,z) fosse $RR^3$, e in tal caso mi ritroverei.
Risposte
Qui davvero non capisco quale sia il problema. $(x, y, z)$ è un vettore 3-dimensionale e come tale vive in $RR^3$; ergo il codominio della funzione $t \mapsto(x(t), y(t), z(t))$ è $RR^3$. ATTENZIONE: Sto distinguendo tra "codominio" e "immagine" - con il primo intendo un insieme che contiene i valori assunti dalla funzione, con la seconda intendo l'insieme costituito esattamente dai valori assunti dalla funzione.
In questo caso non capisco cosa c'entri l'immagine delle soluzioni con gli integrali primi, però...
Per affermare che [tex]$E$[/tex] (ad esempio) è un integrale primo, visto che essa è definita ovunque in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex], basta dire: prendiamo una qualsiasi soluzione [tex]$(x(t),y(t),z(t))$[/tex] del sistema (esistente a norma del teorema di esistenza); consideriamo la funzione composta [tex]$e(t):=E(x(t),y(t),z(t))$[/tex]; mostriamo che [tex]$e(t)$[/tex] è costante.
Le cose cambierebbero se [tex]$E$[/tex] fosse definita solo in un aperto [tex]$\Omega$[/tex] diverso da tutto [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]: allora sì che ti interesserebbe sapere se l'immagine della tua generica soluzione è in [tex]$\Omega$[/tex], altrimenti non potresti calcolare la funzione composta [tex]$e(t)$[/tex].
Per affermare che [tex]$E$[/tex] (ad esempio) è un integrale primo, visto che essa è definita ovunque in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex], basta dire: prendiamo una qualsiasi soluzione [tex]$(x(t),y(t),z(t))$[/tex] del sistema (esistente a norma del teorema di esistenza); consideriamo la funzione composta [tex]$e(t):=E(x(t),y(t),z(t))$[/tex]; mostriamo che [tex]$e(t)$[/tex] è costante.
Le cose cambierebbero se [tex]$E$[/tex] fosse definita solo in un aperto [tex]$\Omega$[/tex] diverso da tutto [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]: allora sì che ti interesserebbe sapere se l'immagine della tua generica soluzione è in [tex]$\Omega$[/tex], altrimenti non potresti calcolare la funzione composta [tex]$e(t)$[/tex].
ti giro la domanda in un altro modo: perchè basta dimostrare che il modulo della soluzione è limitato per ogni t?
"enr87":
ti giro la domanda in un altro modo: perchè basta dimostrare che il modulo della soluzione è limitato per ogni t?
Se lo chiedi a me, la risposta è: non ero in aula con te quel giorno... Quindi non ho la benché minima idea di come il tuo prof. stesse portando avanti il discorso.
non avevo letto la tua risposta sopra: lui ha fatto vedere che E e F sono integrali primi facendo prodotto scalare tra E(x,y,z) e f(x,y,z) e notando che è nullo.
a questo punto, vista la forma degli integrali primi, ha posto $x^2 + y^2 + z^2 < c$ con c costante. fin qui ho capito. il problema è far vedere che le soluzioni massimali sono definite per $I = RR$
a questo punto, vista la forma degli integrali primi, ha posto $x^2 + y^2 + z^2 < c$ con c costante. fin qui ho capito. il problema è far vedere che le soluzioni massimali sono definite per $I = RR$
Ha fatto il prodotto scalare tra due funzioni numeriche?
Mi pare strano...
Inoltre, non è che [tex]$E$[/tex] ed [tex]$F$[/tex] piovano dal cielo; si ricavano dal sistema in modo semplice.
Anzi noto che c'è anche un altro integrale primo, cioè [tex]$G(x,y,z)=y^2-z^2$[/tex].
Mi pare strano...
Inoltre, non è che [tex]$E$[/tex] ed [tex]$F$[/tex] piovano dal cielo; si ricavano dal sistema in modo semplice.
Anzi noto che c'è anche un altro integrale primo, cioè [tex]$G(x,y,z)=y^2-z^2$[/tex].
ah scusa,.. no gli integrali primi li aveva dati lui, li ho solo scritti sotto. e il prodotto scalare l'ha fatto tra il gradiente di F ed f e gradiente di E ed f.. chiedo venia
Voglio provare che le traiettorie delle soluzioni massimali sono limitate usando gli integrali primi.
Fisso una soluzione massimale [tex]$\varphi$[/tex]; la traiettoria di [tex]$\varphi$[/tex] giace necessariamente su un'unica superficie di livello di [tex]$E$[/tex] e su un'unica superficie di livello di [tex]$F$[/tex], quindi sta nell'intersezione di tali due superfici; le superfici di livello di [tex]$E$[/tex] ed [tex]$F$[/tex] sono cilindri retti con assi, rispettivamente, l'asse [tex]$z$[/tex] e l'asse [tex]$y$[/tex], ergo la loro intersezione è una curva limitata [tex]$\Gamma$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]; quindi la traiettoria di [tex]$\varphi$[/tex] è contenuta nel limitato [tex]$\Gamma$[/tex], perciò è limitata.
Inoltre, detto rozzamente, [tex]$E$[/tex] si determina come segue: prendo le prime due equazioni e moltiplico la prima per [tex]$x$[/tex] e la seconda per [tex]$y$[/tex]; sommando membro a membro ottengo [tex]$x\ \dot{x} +y\ \dot{y}=0$[/tex], il che significa che, per ogni curva soluzione del sistema, la forma differenziale [tex]$x\ \text{d} x+y\ \text{d}y$[/tex] è nulla; ma tale forma differenziale è il differenziale totale della funzione [tex]$\frac{1}{2}\ E(x,y,z)=\frac{1}{2}\ (x^2+y^2)$[/tex], ergo [tex]$E$[/tex] è costante su ogni curva soluzione del sistema (ha differenziale nullo) e perciò è un integrale primo.
Fisso una soluzione massimale [tex]$\varphi$[/tex]; la traiettoria di [tex]$\varphi$[/tex] giace necessariamente su un'unica superficie di livello di [tex]$E$[/tex] e su un'unica superficie di livello di [tex]$F$[/tex], quindi sta nell'intersezione di tali due superfici; le superfici di livello di [tex]$E$[/tex] ed [tex]$F$[/tex] sono cilindri retti con assi, rispettivamente, l'asse [tex]$z$[/tex] e l'asse [tex]$y$[/tex], ergo la loro intersezione è una curva limitata [tex]$\Gamma$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]; quindi la traiettoria di [tex]$\varphi$[/tex] è contenuta nel limitato [tex]$\Gamma$[/tex], perciò è limitata.
Inoltre, detto rozzamente, [tex]$E$[/tex] si determina come segue: prendo le prime due equazioni e moltiplico la prima per [tex]$x$[/tex] e la seconda per [tex]$y$[/tex]; sommando membro a membro ottengo [tex]$x\ \dot{x} +y\ \dot{y}=0$[/tex], il che significa che, per ogni curva soluzione del sistema, la forma differenziale [tex]$x\ \text{d} x+y\ \text{d}y$[/tex] è nulla; ma tale forma differenziale è il differenziale totale della funzione [tex]$\frac{1}{2}\ E(x,y,z)=\frac{1}{2}\ (x^2+y^2)$[/tex], ergo [tex]$E$[/tex] è costante su ogni curva soluzione del sistema (ha differenziale nullo) e perciò è un integrale primo.
per traiettoria intendi il grafico di una soluzione? te lo chiedo per conferma, perchè sul quaderno ho copiato un po' malamente gli appunti di questa parte.
poi, hai qualche idea per dimostrare che l'intervallo massimale di esistenza delle soluzioni è $RR$?
poi, hai qualche idea per dimostrare che l'intervallo massimale di esistenza delle soluzioni è $RR$?
La traiettoria di una soluzione è l'immagine della stessa; in altre parole l'insieme [tex]$\{ (x(t),y(t),z(t)),\ \text{con $t\in I$}\} \subseteq \mathbb{R}^3$[/tex].
Il grafico della soluzione, strettamente parlando, è l'insieme [tex]$\{ (t,x(t),y(t),z(t)),\ \text{con $t\in I$}\} \subseteq \mathbb{R}^4$[/tex].
Sono insiemi diversi.
Per quanto riguarda l'intervallo di definizione delle soluzioni massimali, prova a spulciare un po' queste dispense; potrebbero esserti d'aiuto.
Il grafico della soluzione, strettamente parlando, è l'insieme [tex]$\{ (t,x(t),y(t),z(t)),\ \text{con $t\in I$}\} \subseteq \mathbb{R}^4$[/tex].
Sono insiemi diversi.
Per quanto riguarda l'intervallo di definizione delle soluzioni massimali, prova a spulciare un po' queste dispense; potrebbero esserti d'aiuto.
ok, intanto ti ringrazio. più tardi ti faccio sapere se riesco a risolvere.
Puoi anche consultare il libro Analisi matematica 2 di Salsa e Pagani, che mi risulta essere piuttosto diffuso tra voi ingegneri e c'è la probabilità che sia il tuo libro di testo. La proposizione che ti interessa è il Corollario 1.8 del Teorema 1.7 (il quale afferma che il grafico delle soluzioni di una equazione differenziale ordinaria in ipotesi di esistenza e unicità "tende alla frontiera del dominio" nel quale l'equazione stessa è definita), pagg.219-220 dell'edizione Masson 1998.
Comunque sono risultati classici che trovi su qualsiasi risorsa di equazioni differenziali ordinarie, anche sugli appunti di Berti che consiglia Gugo.
Comunque sono risultati classici che trovi su qualsiasi risorsa di equazioni differenziali ordinarie, anche sugli appunti di Berti che consiglia Gugo.
ho cancellato l'ultimo post perchè ho risolto. tornando al problema di partenza, si può dire che f(x,y,z) è localmente lipschitziana, essendo di classe C1? in questo caso posso dire anche che 1) la soluzione esiste in tutto un intervallo I, 2) I è tutto $RR$ perchè per ogni intervallo I chiuso e limitato, la soluzione è limitata in norma (per quanto detto in un post precedente). è corretto?
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