Soluzioni equazione numeri complessi

[luigis1977]

Vi prego di perdonare la mia dimanda ma ho deciso di iscrivermi all'università a 33 anni e sono circa 11 che non aprivo un libro!
Sto cercando di capire come si risolve l'esercizio sotto:
avrei bisogno di capirne i passaggi. qualcuno potrebbe aiutarmi?


Grazie in anticipo a tutti
Luigi 1977

[ciampax]

La cosa è abbastanza semplice, ma bisogna prima di tutto dare la seguente formula utile per calcolare le radici n-ime di un numero compleso. Per prima cosa,un numero complesso può essere espresso in due forme: quella algebrica

[math]z=x+iy[/math]

e quella trigonometrica

[math]z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)[/math]

utilizzando la relazione

[math]x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta[/math]

con

[math]\rho=\sqrt{x^2+y^2}[/math]

. Detto questo, se

[math]z[/math]

è un numero complesso espresso in forma trigonometrica, allora le sue radici n-ime sono date dalla formula

[math]z_k=\sqrt[n]{\rho}\left(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}\right),\qquad k=0,1,\ldots,n-1[/math]

.

Per risolvere il tuo esercizio, procedi così: per prima cosa poni

[math]w=z+\sqrt{3}-i[/math]

in modo che l'equazione possa essere riscritta nella forma

[math]w^3=-8i[/math]

Per risolverla occorre allora calcolare le radici terze di

[math]u=-8i[/math]

. Per fare ciò. scriviamo tale numero in forma trigonometrica: essendo

[math]x=0=\rho\cos\theta,\qquad y=-8=\rho\sin\theta[/math]

si ricava che

[math]\rho=8,\quad\cos\theta=0,\ sin\theta=-1[/math]

e quindi

[math]\theta=\frac{3\pi}{2}[/math]

. Ne segue che

[math]u=8\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)[/math]

e quindi usando la formula scritta prima per le radici terze di

[math]u[/math]

si ha

[math]u_k=2\left(\cos\frac{3\pi/2+2k\pi}{3}+i\sin\frac{3\pi/2+2k\pi}{3}\right)=
2\left(\cos\frac{(3+4k)\pi}{6}+i\sin\frac{(3+4k)\pi}{6}\right)[/math]

con

[math]k=0,1,2[/math]

. Abbiamo allora

[math]u_0=2\left(\cos\frac{3\pi}{6}+i\sin\frac{3\pi}{6}\right)=2i[/math]

[math]u_1=2\left(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}\right)=-\sqrt{3}-i[/math]

[math]u_2=2\left(\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}\right)=\sqrt{3}-i[/math]

da cui le tre soluzioni per

[math]w[/math]

[math]w_0=2i\qquad w_1=-\sqrt{3}-i\qquad w_2=\sqrt{3}-i[/math]

Ricordando la posizione fatta all'inizio, si ricava che

[math]z_k+\sqrt{3}-i=w_k\ \Rightarrow\ z_k=w_k-\sqrt{3}+i[/math]

da cui

[math]z_0=2i-\sqrt{3}+i=-\sqrt{3}+3i[/math]

[math]z_1=-\sqrt{3}-i-\sqrt{3}-i=-2(\sqrt{3}+i)[/math]

[math]z_2=\sqrt{3}-i-\sqrt{3}+i=0[/math]

che sono le tre soluzioni cercate (come si può verificare facilmente andando a sostituire). Se ci sono problemi, chiedi pure.