Soluzioni equazione complessa
w=-1-(sqrt(3))i
determinare e disegnare le soluzioni di z^5=w
Allora io innanzi tutto ho trovato il modulo che è 2.
Poi ho trovato l'argomento principale che dovrebbe essere pi/3 + 2kpi
COme trovo le soluzioni? e come le rappresento meglio?
Inoltre di fronte a domande di questo tipo:
come faccio?
Cioè io in pratica non capisco cosa significa che l'argomento varia per multipli di 2kpi.Quando vado a risolvere l'equazione dopo averla riscritta in forma polare il coseno e il seno di quale angolo lo faccio?Grazie.
edit.aggiungo un altra domanda:
determinare e disegnare le soluzioni di z^5=w
Allora io innanzi tutto ho trovato il modulo che è 2.
Poi ho trovato l'argomento principale che dovrebbe essere pi/3 + 2kpi
COme trovo le soluzioni? e come le rappresento meglio?
Inoltre di fronte a domande di questo tipo:
come faccio?
Cioè io in pratica non capisco cosa significa che l'argomento varia per multipli di 2kpi.Quando vado a risolvere l'equazione dopo averla riscritta in forma polare il coseno e il seno di quale angolo lo faccio?Grazie.
edit.aggiungo un altra domanda:
Risposte
L'argomento principale non è $pi/3 +2kpi$ ma $ pi/3+pi=4pi/3$. ok ?
Puoi ora scrivere $w $ in questi modi equivalenti : $ w = rho*e^(i theta) = rho.[cos theta +i*sintheta] = 2*e^(i*4pi/3)= 2[-1/2-sqrt(3)/2] = -1-isqrt(3)$.
Per calcolare le radici quinte di $w $ ricorda il Teoprema di De Moivre e avrai :
$ z = (2)^(1/5)*[cos((4pi/3+2kpi)/5) +isin((4pi/3+2kpi)/5)] $ , essendo $ k =0,1,2,3,4 $ed ottieni così le cinque radici $ z_0,z_1,z_2,z_3,z_4 $ .
Tutte le soluzioni stanno sulla circonferenza di raggio $ 2 ^(1/5) $ ; spaziate tra loro di un angolo $ 2pi/5$ ; la prima radice forma un angolo $4pi/15 $ con la direzione positiva delle ascisse.
Puoi ora scrivere $w $ in questi modi equivalenti : $ w = rho*e^(i theta) = rho.[cos theta +i*sintheta] = 2*e^(i*4pi/3)= 2[-1/2-sqrt(3)/2] = -1-isqrt(3)$.
Per calcolare le radici quinte di $w $ ricorda il Teoprema di De Moivre e avrai :
$ z = (2)^(1/5)*[cos((4pi/3+2kpi)/5) +isin((4pi/3+2kpi)/5)] $ , essendo $ k =0,1,2,3,4 $ed ottieni così le cinque radici $ z_0,z_1,z_2,z_3,z_4 $ .
Tutte le soluzioni stanno sulla circonferenza di raggio $ 2 ^(1/5) $ ; spaziate tra loro di un angolo $ 2pi/5$ ; la prima radice forma un angolo $4pi/15 $ con la direzione positiva delle ascisse.
Per il secondo esercizio scrivi in forma esponenziale $ 1+i = sqrt(2)*e^(ipi/4) $ .
Quindi le tre radici $z_1,z_2,z_3 $ saranno spaziate di $ 2pi/3 $ cioè di $120°$ ; la prima radice formerà un angolo di $ pi/12$ cioè di $15° $ con l'asse delle ascisse e allora la figura corretta è la 3 .
Quindi le tre radici $z_1,z_2,z_3 $ saranno spaziate di $ 2pi/3 $ cioè di $120°$ ; la prima radice formerà un angolo di $ pi/12$ cioè di $15° $ con l'asse delle ascisse e allora la figura corretta è la 3 .
ti ringrazio, adesso provo a fare così.
la difficoltà che mi rimane però è quando trovo l'argomento cosa devo sommarci?dipende dal quadrante dove mi trovo?cioè in altre parole come faccio a decidere se sommarci pi greco o 2 pigreco?per il resto ti ringrazio davvero!
la difficoltà che mi rimane però è quando trovo l'argomento cosa devo sommarci?dipende dal quadrante dove mi trovo?cioè in altre parole come faccio a decidere se sommarci pi greco o 2 pigreco?per il resto ti ringrazio davvero!
Se devi trovare le radici n-esime di un numero $z $ espresso in forma trigonometrica $ rho[cos theta+isin theta ]$ oppure in forma esponenziale $ rhoe^(i theta)$ la formula di De Moivre dice che tutte le n radici avranno modulo pari a $rho ^(1/n ) $ ed argomento $alpha $ dato dalla formula $ alpha = [(theta +2kpi)/n ] $ con $k $ che assume i valori $0,1,2 ,... n-1 $ ed avrai così n radici differenti .
Se fosse $theta = 3pi/4 $ ed $n = 4 $ avresti :
$alpha_0 = 3pi/(4*4)=3pi/16$
$alpha_1 = (3pi/4+2pi)/4= 11pi/16$
$alpha_2 = (3pi/4+4pi)/4 = 19pi/16 $
$alpha_3 = (3pi/4+6pi)/4 = 27pi/16 $
se proseguissi ancora otterrei $alpha_4 = ( 3pi/4+8pi)/4 = 35pi/4 $ che però corrisponde,a meno di angoli giro , a $pi/4 $ ed è quindi una ripetizione.
Se fosse $theta = 3pi/4 $ ed $n = 4 $ avresti :
$alpha_0 = 3pi/(4*4)=3pi/16$
$alpha_1 = (3pi/4+2pi)/4= 11pi/16$
$alpha_2 = (3pi/4+4pi)/4 = 19pi/16 $
$alpha_3 = (3pi/4+6pi)/4 = 27pi/16 $
se proseguissi ancora otterrei $alpha_4 = ( 3pi/4+8pi)/4 = 35pi/4 $ che però corrisponde,a meno di angoli giro , a $pi/4 $ ed è quindi una ripetizione.
Ultimo esercizio : dice di ruotare il vettore $(-5,2 ) $ di $-3pi/4 $ radianti e quindi di ruotarlo in senso orario di $ 3pi/4 $ radianti.
Del vettore considera il punto estremo appunto di coordinate $(-5,2)$ : puoi considerarlo come un numero complesso : $ -5+2i $.
Ruotarlo dell'angolo che si è detto vuol dire moltiplicare quel numero complesso per $ e^(-i3pi/4) = cos(-3pi/4)+sin(-3pi/4) = -sqrt(2)/2- isqrt(2)/2 $ , che è infatti di modulo unitario
se adesso effettui la moltiplicazione algebrica tra i due numeri complessi $(-5+2i)(-sqrt(2)/2-isqrt(2)/2) =(-1)(sqrt(2)/2)(-5+2i)(1+i)= 7sqrt(2)/2+ i3sqrt(2)/2 $.Ci deve essere qualche conto sbagliato
Adesso dovrebbe essere corretto .
Edit: corretti errori di calcolo .
Del vettore considera il punto estremo appunto di coordinate $(-5,2)$ : puoi considerarlo come un numero complesso : $ -5+2i $.
Ruotarlo dell'angolo che si è detto vuol dire moltiplicare quel numero complesso per $ e^(-i3pi/4) = cos(-3pi/4)+sin(-3pi/4) = -sqrt(2)/2- isqrt(2)/2 $ , che è infatti di modulo unitario
se adesso effettui la moltiplicazione algebrica tra i due numeri complessi $(-5+2i)(-sqrt(2)/2-isqrt(2)/2) =(-1)(sqrt(2)/2)(-5+2i)(1+i)= 7sqrt(2)/2+ i3sqrt(2)/2 $.Ci deve essere qualche conto sbagliato
Adesso dovrebbe essere corretto .
Edit: corretti errori di calcolo .
sei veramente un genio!Bravo,grazie mille, adesso che sò finalmente cosa devo fare sono contento.ora proverò a farlo e spero di riuscire.grazie.
Per il secondo esercizio (quello delle figure) si puo' procedere anche senza
far troppi calcoli (almeno in questo caso).
Basta osservare che nella prima fig.una soluzione e' z=-i
Nella seconda fig. e' z=+i e nella quarta e' z=-1
Nessuna delle quali soddisfa l'equazione di partenza $z^3=1+i$
karl
far troppi calcoli (almeno in questo caso).
Basta osservare che nella prima fig.una soluzione e' z=-i
Nella seconda fig. e' z=+i e nella quarta e' z=-1
Nessuna delle quali soddisfa l'equazione di partenza $z^3=1+i$
karl
ho capito come fare facendo i calcoli. Karl potresti dirmi come fai a dire che quei valori non soddisfano l'eq di partenza?come faccio a dirlo?cioè te dici che per verificarla se ad esempio faccio -1 alla terza non va bene?la soluzione giusta invece elevata alla terza mi dà 1+i? intendi questo?
Considera i 4 gruppi di soluzioni : fig.1 , fig.2 , fig.3, fig.4.
In ogni gruppo considera solo le soluzioni facili da vedere , quelle immediate da capire insomma
fig.1 : $z=-i $ , ma $(-i)^3 = i ne i+1 $ ; quindi non va bene
fig.2 : $z= +i $, ma $i^3 = -i ne i+1$ ; quindi non va bene
fig.3 : nessuna soluzione è facile da vedere; quindi non sappiamo se è ok o no
fig. 4 : $z = -1 $, ma $(-1)^3 = -1 ne i+1 $ ; quindi non va bene .
La soluzione è allora la fig.3.
In ogni gruppo considera solo le soluzioni facili da vedere , quelle immediate da capire insomma
fig.1 : $z=-i $ , ma $(-i)^3 = i ne i+1 $ ; quindi non va bene
fig.2 : $z= +i $, ma $i^3 = -i ne i+1$ ; quindi non va bene
fig.3 : nessuna soluzione è facile da vedere; quindi non sappiamo se è ok o no
fig. 4 : $z = -1 $, ma $(-1)^3 = -1 ne i+1 $ ; quindi non va bene .
La soluzione è allora la fig.3.
ok Camillo ho capito. Ah, effettivamente c'era un errore di calcolo nella rotazione del vettore. la soluzione giusta è 7/2radice di 2 - i 3/2 radice di 2, correggila se vuoi.
Però ho un'ultima domanda da porti così poi almeno la faccio finita di stressarvi con questi numeri complessi (sembra incredibile ma grazie a voi ho capito come funzionano).Come hai fatto a trovare l'angolo -pi/4?perchè a me l'argomento principale mi verrebbe atan(-2/5)+pi/2...
Poi un'altra cosa. Praticamente devo comportarmi così quando cerco l'argomento principale. se il numero complesso è nel primo quadrante allora è semplicemente atan(b/a) ; se giace nel secondo è atan(b/a)+Pi/2 ; se giace nel terzo è atan (b/a)+pi; se infine giace nel quarto è atan(b/a)+3/2 pi ?giusto?ho capito bene? Grazie mille, siete fantastici e pazienti.
Però ho un'ultima domanda da porti così poi almeno la faccio finita di stressarvi con questi numeri complessi (sembra incredibile ma grazie a voi ho capito come funzionano).Come hai fatto a trovare l'angolo -pi/4?perchè a me l'argomento principale mi verrebbe atan(-2/5)+pi/2...
Poi un'altra cosa. Praticamente devo comportarmi così quando cerco l'argomento principale. se il numero complesso è nel primo quadrante allora è semplicemente atan(b/a) ; se giace nel secondo è atan(b/a)+Pi/2 ; se giace nel terzo è atan (b/a)+pi; se infine giace nel quarto è atan(b/a)+3/2 pi ?giusto?ho capito bene? Grazie mille, siete fantastici e pazienti.
"davidcape":
Poi un'altra cosa. Praticamente devo comportarmi così quando cerco l'argomento principale. se il numero complesso è nel primo quadrante allora è semplicemente atan(b/a) ; se giace nel secondo è atan(b/a)+Pi/2 ; se giace nel terzo è atan (b/a)+pi; se infine giace nel quarto è atan(b/a)+3/2 pi ?giusto?ho capito bene? Grazie mille, siete fantastici e pazienti.
Non proprio. La funzione arcotangente
$y=atanx$
ha come codominio l'intervallo $] -pi/2;pi/2[$. Perciò i casi diventano (se si considera l'argomento principale $\theta \in [0;2pi[$):
1) se il numero complesso è nel primo quadrante (escluso l'asse $Y$) è $\theta = atan(b/a)$;
2) se il numero complesso è nel secondo o terzo quadrante (escluso l'asse $Y$) è $\theta=atan(b/a)+pi$;
3) se il numero complesso è nel quarto quadrante (escluso l'asse Y) è $\theta=atan(b/a)+2pi$;
4) se il numero complesso sta sul semiasse positivo delle $Y$ è $\theta = pi/2$;
5) se il numero complesso sta sul semiasse negativo delle $Y$ è $\theta = 3/2pi$;
6) se il numero complesso è l'origine degli assi $\theta$ non è definito.
La classificazione cambia leggermente se si assume, come alcuni fanno, che l'argomento principale sia $\theta \in ]-pi;pi]$.
"davidcape":
ok Camillo ho capito. Ah, effettivamente c'era un errore di calcolo nella rotazione del vettore. la soluzione giusta è 7/2radice di 2 - i 3/2 radice di 2, correggila se vuoi.
Però ho un'ultima domanda da porti così poi almeno la faccio finita di stressarvi con questi numeri complessi (sembra incredibile ma grazie a voi ho capito come funzionano).Come hai fatto a trovare l'angolo -pi/4?perchè a me l'argomento principale mi verrebbe atan(-2/5)+pi/2...
Poi un'altra cosa. Praticamente devo comportarmi così quando cerco l'argomento principale. se il numero complesso è nel primo quadrante allora è semplicemente atan(b/a) ; se giace nel secondo è atan(b/a)+Pi/2 ; se giace nel terzo è atan (b/a)+pi; se infine giace nel quarto è atan(b/a)+3/2 pi ?giusto?ho capito bene? Grazie mille, siete fantastici e pazienti.
Molto semplice : invece di scrivere $-3pi/4 $ ho scritto $-pi/4$ dimenticando un $3 $ .Adesso ho messo a posto.
Il numero complesso $-5+i2 $ non l'ho trasformato nè in forma esponenziale nè in forma trigonometrico perchè l'angolo non è un angolo noto e rende quindi tutto più difficile .
Quindi ho tenuto $ -5+i2$ in forma algebrica e ho trasformato invece in forma trigonometrica e poi algebrica "la rotazione di $-3pi/4$ " cioè $ e^(-3pi/4) $ e poi ho eseguito la moltiplicazione tra 2 numeri complessi seguendo le regole ben note . OK ?
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