Soluzioni di una equazione distribuzionale
Sia \(T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})\) una distribuzione appartenente al duale dello spazio delle funzioni test. La soluzione dell'equazione
\(xT=0 \ \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}\)
\(\langle xT,\varphi\rangle =0 \ \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}\ \forall \varphi \in \mbox{C}^{\infty}_{0}(\mathbb{R}) \)
Si dimostra essere la distribuzione \(T=\delta\) moltiplicata per una costante. Da questo esempio però non capisco alcuni passaggi per la risoluzione di un'altra equazione
\(x^{2}T\ '(x)=\delta (x)\)
\(\langle x^{2}T\ ',\varphi \rangle =\langle \delta,\varphi\rangle \)
Si parte con la risoluzione dell'omogenea associata
\(x^{2}T_{0}\ '(x)=0 \)
\(\langle x^{2}T_{0}\ ',\varphi \rangle =0 \)
Provo qualche calcolo
\(\langle x^{2}T_{0}\ ',\varphi \rangle =0 \)
\(\langle T_{0}\ ',x^{2}\varphi \rangle =0 \)
\(\langle T_{0}\ ,2x\varphi +x^{2}\varphi\ '\rangle =0 \)
\(\langle T_{0}\ ,2x\varphi \rangle +\langle T_{0}, x^{2}\varphi\ '\rangle =0 \)
Oppure sapendo di potere scrivere \( \varphi=\varphi(0)\phi_{0}+x\psi\) (nel mostrare questo si usa \(\phi_{0}(0)=0\) )
\(\langle T_{0}\ ,2x\varphi \rangle +\langle T_{0}, x^{2}\varphi\ '\rangle =0 \)
\(\langle T_{0}\ ,2x(\varphi(0)\phi_{0}+x\psi)\rangle +\langle T_{0}, x^{2}(\varphi(0)\phi_{0}+x\psi) '\rangle =0 \)
Ma così mi sembra solamente di complicare tutto, se sostituisco prima
\(\langle x^{2}T_{0}\ ',\varphi \rangle =0 \)
\(\langle T_{0}\ ',x^{2}\varphi \rangle =0 \)
\(\langle T_{0}\ ',x^{2} (\varphi(0)\phi_{0}+x\psi) \rangle =0 \)
\(\langle T_{0}\ ',x^{2} \varphi(0)\phi_{0}\rangle +\langle T_{0}\ ', x\psi \rangle =0 \)
\( \langle \delta,\varphi\rangle \langle x^{2} T_{0}\ ', \phi_{0}\rangle +\langle T_{0}\ ', x\psi \rangle =0 \)
\(\langle T_{0}\ ', x\psi \rangle =0\)
Che mi sembra aggiunga un'altra condizione. Poi però non saprei...
\(xT=0 \ \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}\)
\(\langle xT,\varphi\rangle =0 \ \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}\ \forall \varphi \in \mbox{C}^{\infty}_{0}(\mathbb{R}) \)
Si dimostra essere la distribuzione \(T=\delta\) moltiplicata per una costante. Da questo esempio però non capisco alcuni passaggi per la risoluzione di un'altra equazione
\(x^{2}T\ '(x)=\delta (x)\)
\(\langle x^{2}T\ ',\varphi \rangle =\langle \delta,\varphi\rangle \)
Si parte con la risoluzione dell'omogenea associata
\(x^{2}T_{0}\ '(x)=0 \)
\(\langle x^{2}T_{0}\ ',\varphi \rangle =0 \)
Provo qualche calcolo
\(\langle x^{2}T_{0}\ ',\varphi \rangle =0 \)
\(\langle T_{0}\ ',x^{2}\varphi \rangle =0 \)
\(\langle T_{0}\ ,2x\varphi +x^{2}\varphi\ '\rangle =0 \)
\(\langle T_{0}\ ,2x\varphi \rangle +\langle T_{0}, x^{2}\varphi\ '\rangle =0 \)
Oppure sapendo di potere scrivere \( \varphi=\varphi(0)\phi_{0}+x\psi\) (nel mostrare questo si usa \(\phi_{0}(0)=0\) )
\(\langle T_{0}\ ,2x\varphi \rangle +\langle T_{0}, x^{2}\varphi\ '\rangle =0 \)
\(\langle T_{0}\ ,2x(\varphi(0)\phi_{0}+x\psi)\rangle +\langle T_{0}, x^{2}(\varphi(0)\phi_{0}+x\psi) '\rangle =0 \)
Ma così mi sembra solamente di complicare tutto, se sostituisco prima
\(\langle x^{2}T_{0}\ ',\varphi \rangle =0 \)
\(\langle T_{0}\ ',x^{2}\varphi \rangle =0 \)
\(\langle T_{0}\ ',x^{2} (\varphi(0)\phi_{0}+x\psi) \rangle =0 \)
\(\langle T_{0}\ ',x^{2} \varphi(0)\phi_{0}\rangle +\langle T_{0}\ ', x\psi \rangle =0 \)
\( \langle \delta,\varphi\rangle \langle x^{2} T_{0}\ ', \phi_{0}\rangle +\langle T_{0}\ ', x\psi \rangle =0 \)
\(\langle T_{0}\ ', x\psi \rangle =0\)
Che mi sembra aggiunga un'altra condizione. Poi però non saprei...
Risposte
Anche qua non si capisce bene che cosa devi fare e che cosa hai fatto. Devi risolvere questa equazione:
\[x^2T'(x)=\delta(x).\]
Ok. Parti dalla omogenea associata, e pure ok. A me la soluzione dell'omogenea associata risulta essere \(T_0=C_1H+C_2\delta+C_3\), dove \(H\) è il gradino unitario e le \(C_1, C_2, C_3\) sono costanti arbitrarie. Dopodiché bisogna trovare una soluzione particolare. Qua mi sa che tocca andare ad occhio.
Non lo so se ti aiuta questo post.
\[x^2T'(x)=\delta(x).\]
Ok. Parti dalla omogenea associata, e pure ok. A me la soluzione dell'omogenea associata risulta essere \(T_0=C_1H+C_2\delta+C_3\), dove \(H\) è il gradino unitario e le \(C_1, C_2, C_3\) sono costanti arbitrarie. Dopodiché bisogna trovare una soluzione particolare. Qua mi sa che tocca andare ad occhio.
Non lo so se ti aiuta questo post.
Ecco, quello che voglio dire è che non so come trovare la soluzione dell'omogenea associata, quindi per risolverla ho provato ad utilizzare gli unici esempi che conosco ma non ci riesco.
E' perché non è una cosa banale. SI tratta infatti di un teorema, detto della divisione, che non mi ricordo bene ma grosso modo dice che le soluzioni dell'equazione
\[x^nT=0\]
sono tutte e sole le combinazioni lineari
\[T=C_0\delta+C_1\delta'+\ldots+C_{n-1}\delta^{(n-1)},\]
dove le \(C_i\) sono costanti. Non te lo so dimostrare ma sono sicuro che c'è su Gilardi, Analisi 3 (e sicuramente su tutti gli altri libri sulle distribuzioni, ma non ne conosco assai).
PS Vedi un po' se se ne parla qua post619849.html#p619849
\[x^nT=0\]
sono tutte e sole le combinazioni lineari
\[T=C_0\delta+C_1\delta'+\ldots+C_{n-1}\delta^{(n-1)},\]
dove le \(C_i\) sono costanti. Non te lo so dimostrare ma sono sicuro che c'è su Gilardi, Analisi 3 (e sicuramente su tutti gli altri libri sulle distribuzioni, ma non ne conosco assai).
PS Vedi un po' se se ne parla qua post619849.html#p619849
Ok, ti ringrazio.
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