Soluzioni di numeri complessi
Buonasera 
Ho il seguente quesito: $(z^3 + 343i)(z-1-2i)^2$
ammette cinque soluzioni di cui due coniugate
ammette cinque soluzioni di cui due opposte
ammette cinque soluzioni reali
ammette cinque soluzioni immaginarie pure
ammette cinque soluzioni di cui una immaginaria pura
C'è un modo per rispondere senza dover fare tutti i calcoli? Ad esempio, il fatto che ci siano esattamente 5 soluzioni è garantito dal teorema fondamentale dell'algebra, perciò mi chiedevo se mi mancasse un teorema da sapere per poter rispondere senza calcolare nulla.
Grazie
Ho il seguente quesito: $(z^3 + 343i)(z-1-2i)^2$
ammette cinque soluzioni di cui due coniugate
ammette cinque soluzioni di cui due opposte
ammette cinque soluzioni reali
ammette cinque soluzioni immaginarie pure
ammette cinque soluzioni di cui una immaginaria pura
C'è un modo per rispondere senza dover fare tutti i calcoli? Ad esempio, il fatto che ci siano esattamente 5 soluzioni è garantito dal teorema fondamentale dell'algebra, perciò mi chiedevo se mi mancasse un teorema da sapere per poter rispondere senza calcolare nulla.
Grazie
Risposte
Ciao Bertucciamaldestra,
Innanzitutto immagino tu ti sia scordato un $=0$:
$(z^3 + 343i)(z-1-2i)^2 = 0$
Ora, siccome si vede facilmente che ci sono due soluzioni complesse coincidenti $z = 1 + 2i$ ed una immaginaria pura $z = 7i$, andando un po' per esclusione la risposta corretta è l'ultima:
Innanzitutto immagino tu ti sia scordato un $=0$:
$(z^3 + 343i)(z-1-2i)^2 = 0$
Ora, siccome si vede facilmente che ci sono due soluzioni complesse coincidenti $z = 1 + 2i$ ed una immaginaria pura $z = 7i$, andando un po' per esclusione la risposta corretta è l'ultima:
"Bertucciamaldestra":
ammette cinque soluzioni di cui una immaginaria pura
Grazie per l'aiuto
$ z=1+2i $ ha molteplicità due, ma posso concludere in automatico che ci sono altre due soluzioni complesse coniugate di $ z=1+2i $ ?
$ z=1+2i $ ha molteplicità due, ma posso concludere in automatico che ci sono altre due soluzioni complesse coniugate di $ z=1+2i $ ?
Di niente... 
No, casomai puoi concludere che ci sono altre due soluzioni complesse, ma che non hanno nulla a che vedere con la soluzione doppia $z = 1 + 2i$. Avevi però richiesto di non fare tutti i calcoli:
che peraltro sono semplici, infatti si ha:
$z^3 + 343i = 0 \implies z^3 - (7i)^3 = 0 \implies (z - 7i)(z^2 + 7iz - 49) = 0 \implies $
$ \implies z_{1} = 7i, z_{2} = - frac{7}{2}(sqrt{3} + i), z_{3} = frac{7}{2}(sqrt{3} - i)$
No, casomai puoi concludere che ci sono altre due soluzioni complesse, ma che non hanno nulla a che vedere con la soluzione doppia $z = 1 + 2i$. Avevi però richiesto di non fare tutti i calcoli:
"Bertucciamaldestra":
C'è un modo per rispondere senza dover fare tutti i calcoli?
che peraltro sono semplici, infatti si ha:
$z^3 + 343i = 0 \implies z^3 - (7i)^3 = 0 \implies (z - 7i)(z^2 + 7iz - 49) = 0 \implies $
$ \implies z_{1} = 7i, z_{2} = - frac{7}{2}(sqrt{3} + i), z_{3} = frac{7}{2}(sqrt{3} - i)$
Sì infatti non ero interessata ai calcoli, ma a capire quando si può concludere che tutte le radici sono complesse coniugate e quando no. Forse, provo ad indovinare, lo sono sicuramente nel momento in cui ho n radici con n pari e z=0 non compreso fra le radici (e quindi quando $p_n(z)$ ha un termine noto diverso da zero)?
Grazie
Grazie
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