Soluzioni di derivate prime parziali
ho una funzione f(x,y) di cui devo calcolare l'hessiano. le derivate prime sono:
secondo x:
$ -4x + 4y + 24x^(2) + 24xy + 6y^(2) $
secondo y:
$ 4x - 10y + 3y^(2) + 12x^(2) + 12xy $
dovendole uguagliare entrambe a zero, ho pensato di risolvere uguagliando l'una all'altra.
in questo modo ottengo:
$ 18x^(2)+12xy-8x+3y^(2)+14y =0 $
non conoscendo modi per risolvere una cosa del genere, ho pensato di vederla come una equazione di secondo grado nella variabile x.
per cui i coefficienti saranno a = 18; b = 12y-8; c=3y^2+14.
calcolo il delta e poi, dalla formula delle due radici di x, ricavo una equazione nella variabile y, uguagliando il delta al quadrato di + o - b, quindi al quadrato di b.
ottengo due valori di y.
entrambi li sostituisco prima nella derivata secondo x, poi in quella secondo y, ottenendo per entrambe, due soluzioni di x.
di queste soluzioni, prendo quelle comuni.
alla fine mi vien fuori che la soluzione è (x,y) = (0,0).
vorrei sapere se ci sono procedimenti più "normali"
secondo x:
$ -4x + 4y + 24x^(2) + 24xy + 6y^(2) $
secondo y:
$ 4x - 10y + 3y^(2) + 12x^(2) + 12xy $
dovendole uguagliare entrambe a zero, ho pensato di risolvere uguagliando l'una all'altra.
in questo modo ottengo:
$ 18x^(2)+12xy-8x+3y^(2)+14y =0 $
non conoscendo modi per risolvere una cosa del genere, ho pensato di vederla come una equazione di secondo grado nella variabile x.
per cui i coefficienti saranno a = 18; b = 12y-8; c=3y^2+14.
calcolo il delta e poi, dalla formula delle due radici di x, ricavo una equazione nella variabile y, uguagliando il delta al quadrato di + o - b, quindi al quadrato di b.
ottengo due valori di y.
entrambi li sostituisco prima nella derivata secondo x, poi in quella secondo y, ottenendo per entrambe, due soluzioni di x.
di queste soluzioni, prendo quelle comuni.
alla fine mi vien fuori che la soluzione è (x,y) = (0,0).
vorrei sapere se ci sono procedimenti più "normali"
Risposte
Direi che non va bene, perchè sia la x che la y sono variabili indipendenti e tu non puoi fissare la y come se fosse un parametro e lavorare come se l'equazione che hai scritto fosse una equazione di secondo grado. Quello che ti posso consigliare è di applicare ad esempio il metodo di addizione o sottrazione tra le prime di due equazioni del sistema (anche più volte), qualcosa va sicuramente via...
si avevo provato anche sommando, scegliendo di eliminare il termine xy, e oltre a quello ne vanno via anche altri.
però se applico questo metodo ad altre funzioni, mi ritrovo nella stessa situazione. come si fa ad applicarlo più volte?
però se applico questo metodo ad altre funzioni, mi ritrovo nella stessa situazione. come si fa ad applicarlo più volte?
Che significa
più volte si intende lo applichi una prima volta, poi riscrivi il sistema con le nuove equazioni e poi lo riapplichi.
applico questo metodo ad altre funzioni?
più volte si intende lo applichi una prima volta, poi riscrivi il sistema con le nuove equazioni e poi lo riapplichi.
"applico questo ad altre funzioni" vuol dire che se faccio un altro esercizio, una funzione diversa, xy va via, ma restano troppe cose ugualmente.
"come si fa ad applicarlo più volte" significa: con il metodo dell'addizione, ottengo una sola equazione. su questa, come applico di nuovo il metodo dell'addizione?
"come si fa ad applicarlo più volte" significa: con il metodo dell'addizione, ottengo una sola equazione. su questa, come applico di nuovo il metodo dell'addizione?
No vedi bene...perchè quando io studio un sistema di equazioni e applico il metodo della addizione o sottrazione non rimane una sola equazione, ma otterrai un nuovo sistema dove avrai una vecchia equazione (a scelta tua tra quelle iniziali) più quella ottenuta dalla somma o dalla differenza.
Ad esempio:
${(x+y+z=1),(x+y=0):}$
Ora applichiamo il metodo di sottrazione, quindi faccio la prima equazione meno la seconda e ottengo $z=1$, dunque il sistema di partenza diventa:
${(x+y=0),(z=1):}$
Vedi meglio la teoria...
Ad esempio:
${(x+y+z=1),(x+y=0):}$
Ora applichiamo il metodo di sottrazione, quindi faccio la prima equazione meno la seconda e ottengo $z=1$, dunque il sistema di partenza diventa:
${(x+y=0),(z=1):}$
Vedi meglio la teoria...
ah in questo senso.. capito. ora ci provo
scusa sarò ottuso io.. ma se ri-applico il metodo della somma.. il termine xy ricompare
Il fatto di applicare il metodo di addizione o sottrazione più volte era un suggerimento non è detto che per forza lo devi applicare. Se hai proprio difficoltà scrivi i passaggi...
le derivate prime sono:
9x^2 + 10xy - 2y^2 + 4x + 2y
5x^2 - 4xy + 6y^2 + 2x - 4y
moltiplico la seconda per 5/2, in modo da far andar via xy:
ottengo 43/2 x^2 + 13y^2 + 9x -8y = 0
ora metto a sistema il risultato con la seconda derivata;
moltiplico il risultato del primo passaggio per -10/43 in modo da eliminare la x^2,
ma poi facendo la somma ritorna il termine xy
9x^2 + 10xy - 2y^2 + 4x + 2y
5x^2 - 4xy + 6y^2 + 2x - 4y
moltiplico la seconda per 5/2, in modo da far andar via xy:
ottengo 43/2 x^2 + 13y^2 + 9x -8y = 0
ora metto a sistema il risultato con la seconda derivata;
moltiplico il risultato del primo passaggio per -10/43 in modo da eliminare la x^2,
ma poi facendo la somma ritorna il termine xy
usa i codici altrimenti non si capisce nulla!
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