Soluzioni costanti di equazioni differenziali ordinarie

[Niubbo1]

Cerco le soluzioni costanti di:

$ddot y = - (dot y)^3 = f(x, dot y, y)

Direi che ogni $y = k, k in RR$, sia soluzione costante dell'equazione. Oltre a queste soluzioni però
ci sono quelle date dall'integrale generale che, fissando ad esempio $ x_0 = 0$, vale $y = c2 +- sqrt(2(x-c1))$.
L'unicità della soluzione locale per ogni condizione iniziale ($ f in C^\infty(RR^3)$ ) è dunque violata.
Dove sta l'errore nel ragionamento?

[Fioravante Patrone1]

Ciao, Niubbo! Bel nickname

Facciamola ancoa più semplice. Prendiamo

$ddot y = 0$

Questa ha per soluzione, con c.i. $x_0 = 0$, sia $0$ che $x$. Dove sta il mistero?

E' che la c.i. $x_0 = 0$ è solo una c.i., per così dire, parziale. Avendo una equadiff del secondo ordine, tu hai bisogno di fissare "posizione e velocità" iniziali, se vuoi sperare di avere un'unica soluzione (detto in termini matematici, devi fissare non solo il valore della soluzione in $x_0$, ma anche il valore della sua derivata prima). Questo è ciò che richiede il classico teorema di esistenza ed unicità cui hai fatto riferimento.