Soluzione serie numerica
Salve sono nuovo del forum ,ho letto parecchie discussioni ma non sono mai intervenuto.
Ho un problema con due serie numeriche potreste darmi una mano a risolverle?
sono le seguenti:
$ sum_(n = 1)^(+oo) n^x/(2^(n)^2) $
$ sum_(n = 1)^(+oo) (1/(sqrt(n)(2+n^x))) $
ho l'orale mercoledì e se non riesco a risolvere almeno una delle due serie non mi promuove.
Sicuro di una vostra risposta
AG
Ho un problema con due serie numeriche potreste darmi una mano a risolverle?
sono le seguenti:
$ sum_(n = 1)^(+oo) n^x/(2^(n)^2) $
$ sum_(n = 1)^(+oo) (1/(sqrt(n)(2+n^x))) $
ho l'orale mercoledì e se non riesco a risolvere almeno una delle due serie non mi promuove.
Sicuro di una vostra risposta
AG
Risposte
Sì, ma se tu non proponi qualche idea, mi sa che ti chiudono la discussione e finisce lì, sai?
scusate ma con la frenesia dell'esame non ho inserito come ho provato a risolverle.
Per la prima serie ho provato con il criterio del rapporto ,studiando singolarmente i casi in cui la x ha valori >0 =0 <0 e il risultato è stato che converge in tutto R
mentre per la seconda serie ho calcolato la derivare rispetto a x (studio del sup) e mi è venuto fuori che per x =>-2/3 la serie converge invece per x<-2/3 la serie diverge ...
Per la prima serie ho provato con il criterio del rapporto ,studiando singolarmente i casi in cui la x ha valori >0 =0 <0 e il risultato è stato che converge in tutto R
mentre per la seconda serie ho calcolato la derivare rispetto a x (studio del sup) e mi è venuto fuori che per x =>-2/3 la serie converge invece per x<-2/3 la serie diverge ...
La prima va bene col criterio del rapporto, trovi che converge ovunque, perchè il limite viene $1/4$.
Per la seconda noti che se [tex]x\le0[/tex] puoi minorare la successione dei termini della serie, almeno definitivamente, con questa[tex]1\over {3\sqrt{n}}[/tex] che è una successione dei termini di una serie che diverge, e quindi diverga anche l'altra.
Ma se [tex]x>0[/tex] allora puoi maggiorarla con una serie armonica generalizzata con [tex]\alpha > 1[/tex], che converge, e quindi per confronto convergerà anche la tua serie. Per l'uniforme convergenza c'è da pensarci un pochino di più ,perchè la seconda può presentare dei problemi con $x$ piccolo, ma moltiplicando la serie armonica generalizzata per una opportuna costante, dovrebbe risolversi il problema per ogni $x>0$.
Per la seconda noti che se [tex]x\le0[/tex] puoi minorare la successione dei termini della serie, almeno definitivamente, con questa[tex]1\over {3\sqrt{n}}[/tex] che è una successione dei termini di una serie che diverge, e quindi diverga anche l'altra.
Ma se [tex]x>0[/tex] allora puoi maggiorarla con una serie armonica generalizzata con [tex]\alpha > 1[/tex], che converge, e quindi per confronto convergerà anche la tua serie. Per l'uniforme convergenza c'è da pensarci un pochino di più ,perchè la seconda può presentare dei problemi con $x$ piccolo, ma moltiplicando la serie armonica generalizzata per una opportuna costante, dovrebbe risolversi il problema per ogni $x>0$.
"regim":
La prima va bene col criterio del rapporto, trovi che converge ovunque, perchè il limite viene $1/4$.
Per la seconda noti che se [tex]x\le0[/tex] puoi minorare la successione dei termini della serie, almeno definitivamente, con questa[tex]1\over {3\sqrt{n}}[/tex] che è una successione dei termini di una serie che diverge, e quindi diverga anche l'altra.
Ma se [tex]x>0[/tex] allora puoi maggiorarla con una serie armonica generalizzata con [tex]\alpha > 1[/tex], che converge, e quindi per confronto convergerà anche la tua serie. Per l'uniforme convergenza c'è da pensarci un pochino di più ,perchè la seconda può presentare dei problemi con $x$ piccolo, ma moltiplicando la serie armonica generalizzata per una opportuna costante, dovrebbe risolversi il problema per ogni $x>0$.
Grazie mille per la risposta ora controllo bene come poter studiare la convergenza uniforme ...
La prima secondo voi quando presenta convergenza uniforme? Secondo me in tutto R o mi sbaglio?
Secondo te è tutto R perchè? 
secondo me no, converge in tutto R, ma uniformemente solo in [tex](-\infty, a],[/tex][tex]a \in R[/tex].
hint: Tra il criterio del rapporto e quello della radice c'è una relazione, malgrado ciò, quando [tex]x\rightarrow +\infty[/tex] la funzione tende a [tex]+\infty[/tex].
secondo me no, converge in tutto R, ma uniformemente solo in [tex](-\infty, a],[/tex][tex]a \in R[/tex].hint: Tra il criterio del rapporto e quello della radice c'è una relazione, malgrado ciò, quando [tex]x\rightarrow +\infty[/tex] la funzione tende a [tex]+\infty[/tex].
Ciao stavo riguardando gli esercizi e mi chiedevo perché nel primo esercizio il limite è 1/4 dato che è $ lim_(n -> +oo) (1+1/n^x)^x/(2^(2n+1)) $
Scusa ma [tex](n+1)^x\over n^x[/tex] quanto fa? 
quel limite fa 1 quindi faccio 1/2^2n+1 e mi viene 0...
Dove sbaglio?
Dove sbaglio?
"sceletrino":
quel limite fa 1 quindi faccio 1/2^2n+1 e mi viene 0...
Dove sbaglio?
Certamente quel limite è $0$, ma la successione che ottieni applicando il criterio del rapporto non è quella.
ciao
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