Soluzione reale di una equazione

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ride2

15 mag 2012, 21:19

salve, avrei un dubbio riguardo questo quesito. ho la funzione
f(x)= $x^3$-3ax=1 ; dovrei determinare per quali valori del parametro a esiste una sola soluzione reale.
io avevo cominciato a considerare la funzione nel punto zero, e la derivata prima per vedere dove la funzione era crescente o meno, per cercare di vedere per quali valori la funzione intersecava l'asse x in un solo punto. ma oltre che un pò scarno, il mio ragionamento è alquanto inutile, perchè non mi porta da nessuna parte.

Risposte

Sk_Anonymous

15 mag 2012, 20:17

L'equazione si può riscrivere come $x(x^2-3a)=1$. Se $a=0$, l'equazione diventa $x^3=1$, e quest'ultima ammette l'unica soluzione $1$.
Se $a>0$, ci saranno sempre più soluzioni.
Se $a<0$, $x^2-3a$ non ammette soluzioni, dunque esiste una sola soluzione.
In definitiva, l'equazione ammette una sola soluzione se $a<=0$.
Spero sia corretto!

ride2

15 mag 2012, 20:46

"lisdap":
L'equazione si può riscrivere come $x(x^2-3a)=1$. Se $a=0$, l'equazione diventa $x^3=1$, e quest'ultima ammette l'unica soluzione $1$.
Se $a>0$, ci saranno sempre più soluzioni.
Se $a<0$, $x^2-3a$ non ammette soluzioni, dunque esiste una sola soluzione.
In definitiva, l'equazione ammette una sola soluzione se $a<=0$.
Spero sia corretto!

no dovrebbe essere a<$2^-(2/3)$

gugo82

15 mag 2012, 21:30

@ride: Praticamente, l'esercizio ti sta chiedendo quanti zeri reali ha la funzione ausiliaria $g(x):=x^3-3ax-1$ (dato che risolvere $f(x)=1$ è del tutto equivalente a risolvere $g(x)=0$).
Dato che $g$ è un polinomio di grado tre per ogni valore del parametro, l'equazione $g(x)=0$ ha sempre almeno una soluzione reale.
D'altra parte, dato che la funzione $g$ è un polinomio di terzo grado a coefficienti reali, l'equazione $g(x)=0$ non può mai avere solo due soluzioni reali; quindi abbiamo stabilito che l'equazione $g(x)=0$ o ha un'unica soluzione reale, oppure ne ha tre.
Sorge allora il problema di stabilire quando $g(x)=0$ ha tre zeri reali. Ciò può accadere solamentre se $g$ ha un minimo relativo negativo (basta fare un disegnino).
Derivando, si vede che $g^\prime (x)=3(x^2-a)$, sicché:

Sk_Anonymous

15 mag 2012, 21:32

Come non detto, troppo di fretta.
Mi scuso per gli errori, vedo che prima di avere "feeling" con la matematica dovrò ancora zappare e seminare per parecchio.

ride2

16 mag 2012, 08:47

"gugo82":
@ride: Praticamente, l'esercizio ti sta chiedendo quanti zeri reali ha la funzione ausiliaria $g(x):=x^3-3ax-1$ (dato che risolvere $f(x)=1$ è del tutto equivalente a risolvere $g(x)=0$).
Dato che $g$ è un polinomio di grado tre per ogni valore del parametro, l'equazione $g(x)=0$ ha sempre almeno una soluzione reale.
D'altra parte, dato che la funzione $g$ è un polinomio di terzo grado a coefficienti reali, l'equazione $g(x)=0$ non può mai avere solo due soluzioni reali; quindi abbiamo stabilito che l'equazione $g(x)=0$ o ha un'unica soluzione reale, oppure ne ha tre.
Sorge allora il problema di stabilire quando $g(x)=0$ ha tre zeri reali. Ciò può accadere solamentre se $g$ ha un minimo relativo negativo (basta fare un disegnino).
Derivando, si vede che $g^\prime (x)=3(x^2-a)$, sicché:

[*:28wxifnr] se $a\leq 0$ si ha $g$ strettamente crescente;

[/*:m:28wxifnr]
[*:28wxifnr] se $a>0$, la $g$ decresce strettamente in $[-\sqrt{a},\sqrt{a}]$ e cresce strettamente altrove.[/*:m:28wxifnr][/list:u:28wxifnr]
Nel primo caso, la $g$ non può prendere valore nullo più di una volta (per la stretta monotonia); nel secondo caso, la $g$ può prendere valore nullo più volte solo se il minimo relativo $g(\sqrt{a})$ è un valore $\leq 0$: pertanto basta studiare la disequazione $\sqrt{a^3} -3a\ \sqrt{a} -1\leq 0$ per sapere a quali valori di $a$ competono tre soluzioni reali.

E l'esercizio è risolto.

grazie mille, davvero chiarissimo. credevo che il procedimento fosse un pò più semplice e conciso...

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