Soluzione "strana": c'è una soluzione migliore?
mi si chiede se la funzione $fn(x)=sin(nx^2)/(nx)$ converege uniformemente a 0 in (0,1). Io ho trovato una soluzione che mi sembra "atipica" e perciò volevo sapere se esisteva una soluzione più ovvia.
La mia soluzione è questa: Prima osservazione $fn(x)>=0$. $f1(x)=sin(x^2)/x$. $fn(x)=sin((n^(1/2)x)^2)/((n^(1/2)x)*(n^(1/2)))$ cioè definito $Y=(n^(1/2)fn), X=(n^(1/2)x)$, si ha che $Y=sin(X^2)$ ma poichè questa è la stessa equazione di $y=sin(x^2)/x$ e dato che il sitema $y=Y/(n^(1/2))$, $x=X/(n^(1/2))$ rappresenta un omotetia che riduce le dimensioni si ha che al variare di n la fn rappresenta funzioni simili a f1 (tramite omotetie) ogni volta rimpicciolite. Poichè la funzione f1 è continua in (0,1) e si ha che $0<=f1(x)=x*sin((nx)^2)/(nx)^2<=x<=1$, il massimo esiste (chiamiamolo $m$). Il massimo della funzione fn allora sarà $m/(n^(1/2))$ che tende a 0 per n che tende a infinito dunque la funzione converge uniformemente.
Ecco quello che io volevo chiedere è: innanzitutto se la soluzione va bene, in secondo luogo se è la strada più ovvia, ossia se c'era qualcosa di più ovvio da fare.
La mia soluzione è questa: Prima osservazione $fn(x)>=0$. $f1(x)=sin(x^2)/x$. $fn(x)=sin((n^(1/2)x)^2)/((n^(1/2)x)*(n^(1/2)))$ cioè definito $Y=(n^(1/2)fn), X=(n^(1/2)x)$, si ha che $Y=sin(X^2)$ ma poichè questa è la stessa equazione di $y=sin(x^2)/x$ e dato che il sitema $y=Y/(n^(1/2))$, $x=X/(n^(1/2))$ rappresenta un omotetia che riduce le dimensioni si ha che al variare di n la fn rappresenta funzioni simili a f1 (tramite omotetie) ogni volta rimpicciolite. Poichè la funzione f1 è continua in (0,1) e si ha che $0<=f1(x)=x*sin((nx)^2)/(nx)^2<=x<=1$, il massimo esiste (chiamiamolo $m$). Il massimo della funzione fn allora sarà $m/(n^(1/2))$ che tende a 0 per n che tende a infinito dunque la funzione converge uniformemente.
Ecco quello che io volevo chiedere è: innanzitutto se la soluzione va bene, in secondo luogo se è la strada più ovvia, ossia se c'era qualcosa di più ovvio da fare.
Risposte
L'idea mi sembra carina. Complimenti (per i conti sto zitto, meglio che non mi immischio).
C'è però una cosa da precisare: le f_n non sono sempre maggiori o uguali a zero. Per ogni x>0, per n grande n*x^2 va all'infinito, quindi mi aspetto cambiamenti di segni.
Questa necessaria precisazione evoca un ulteriore problema, volendo sistemare bene le cose. Se applichi la trasformazione che hai individuato, devi usare "pezzi della funzione" che provengono da fuori dell'intervallo (0,1). Quindi mi sa che devi tirare in ballo tutto R e questo potrebbe complicare la procedura (o forse no, si tratta di lavorare però su intervalli che via via si ingrandiscono).
C'è però una cosa da precisare: le f_n non sono sempre maggiori o uguali a zero. Per ogni x>0, per n grande n*x^2 va all'infinito, quindi mi aspetto cambiamenti di segni.
Questa necessaria precisazione evoca un ulteriore problema, volendo sistemare bene le cose. Se applichi la trasformazione che hai individuato, devi usare "pezzi della funzione" che provengono da fuori dell'intervallo (0,1). Quindi mi sa che devi tirare in ballo tutto R e questo potrebbe complicare la procedura (o forse no, si tratta di lavorare però su intervalli che via via si ingrandiscono).
hai proprio ragione!!! (il modo di metterci un errore lo devo sempre trovare...)
facciamo così per sistemare le cose ( correggetemi se non va bene): ci mettiamo il valore assoluto. $ |sin((nx)^2)/(nx)^2*x|<=|x|<=1$ per cui in ogni caso il sup per gli x appartenenti a (0,1) di $|fn(x)|$ tende a 0 per n che tende a infinito.
facciamo così per sistemare le cose ( correggetemi se non va bene): ci mettiamo il valore assoluto. $ |sin((nx)^2)/(nx)^2*x|<=|x|<=1$ per cui in ogni caso il sup per gli x appartenenti a (0,1) di $|fn(x)|$ tende a 0 per n che tende a infinito.
Mi sembra ineccepibile - io l'avrei detto così:
posto $g(t):=\frac{\sin(t^2)}{t}$ ottieniamo $f_n(t)=\frac{1}{\sqrt{n}}g(\sqrt{n}x)$.
Dato che $g$ è limitata su $RR$ (avendo verificato che $g(t)\to0$ per $t\to0$ e $t\to\infty$),
è evidente che $f_n$ tende uniformemente a zero (addirttura su $RR$).
In realtà, per la mia esperienza, molti esercizi sulla convergenza uniforme (e il confronto con la puntuale) seguono questo schema
(data una $g$ si pone $f_n(x)=n^{\beta}g(n^{\alpha}x)$).
posto $g(t):=\frac{\sin(t^2)}{t}$ ottieniamo $f_n(t)=\frac{1}{\sqrt{n}}g(\sqrt{n}x)$.
Dato che $g$ è limitata su $RR$ (avendo verificato che $g(t)\to0$ per $t\to0$ e $t\to\infty$),
è evidente che $f_n$ tende uniformemente a zero (addirttura su $RR$).
In realtà, per la mia esperienza, molti esercizi sulla convergenza uniforme (e il confronto con la puntuale) seguono questo schema
(data una $g$ si pone $f_n(x)=n^{\beta}g(n^{\alpha}x)$).
"Fioravante Patrone":
L'idea mi sembra carina. Complimenti
"ViciousGoblinEnters":
Mi sembra ineccepibile
è mai possibile che da persone come voi rivevo complimenti per l'originalità della soluzione e che, invece, esponendola in classe alla professoressa debba ricevere critiche e mi debba sentir dire che è completamente sbagliata per picci matematici? Allora: io le avevo esposto che la f1 è minore in valore assoluto di 1 per il motivo che ho detto anche prima. In realtà questa dimostrazione è sbagliata -e qui ammetto i miei errori- perchè( come faceva notare tra l'altro fioravante) per applicare le omotetie non posso più considerare |f1| solo in (0,1) ma su tutto R per cui -nota importante- $|x|<1$ non vale più!!! bisogna dimostrare che $f1 <1$ anche per $|x|>1$ (ma si dimostra veramente facilmente). Detto questo ho provato a spiegarle il mio ragionamento delle omotetie, ma parlando mi sono confuso tra g1(x) =f1(x) esteso su tutto R e f1(x) considerato in (0,1). Lei allora ha iniziato a dire che il mio ragionamento era tutto sbagliato e ha iniziato a scrivere la sua soluzione che in pratica era quella di vicious. Quando ho provato a finirle di spegare il mio ragionamento prima cercando di spiegarlgliela con i grafici solo per farle capire l'idea mi ha detto di lasciar perdere i grafici, poi ho provato a cercare di dimostrarla formalmente ma non mi lasciava finire perchè diceva che era la brutta copia di quella che aveva fatto lei e che era solo una strada più lunga, mentre io cercavo solo di formalizzare l'idea di fondo delle omotetie non di ricopiare la sua dimostrazione. Risultato: ciò che alla fine su questo forum è stato apprezzato è stato smerdato dalla mia professoressa. La cosa che mi fa arrabbiare è che io volevo solo cercare di spiegare l'idea di fondo aiutandomi coi grafici, cioè volevofarle vedere che il massimo di fn stava sulla retta che congiunge l'origine con il punto del massimo di f1(estesi o non estesi chi se ne frega tanto quello non esteso è <= di quello esteso e cmq con il grafico SI VEDE SUBITO che il massimo di fn (stando su tale retta ed essendo decrescente come n^(-1/2)) da un certo punto in poi sta in (0,1) per cui il max di f1 esteso=maxf1non esteso). Perciò questo max ha ordinata m/n^(1/2) e tende a 0. Poi che non sia riuscito a formalizzare bene al 100%, che abbia sbagliato a dimostrare bene che esiste il max ( che poi mi era evidente), sono tutti dettagli a cui lì per lì non davo + di tanta importanza mentre mi importava l'idea. Cioè, una volta che uno ha ben chiara l'idea ci perde quei 5,10 minuti che siano, magari se si accorge che ha sbagliato qualcosa torna indietro, corregge... e poi la formalizza ma secondo me ciò che è i mportante è l'idea. Poi, certo, a matematica devono insegnarti a formalizzare bene, è chiaro, ma se uno parte da un' idea buona e gli si viene risposto che ha sbagliato tutto perchè non ha formalizzato bene allora abbiamo un diversa percezione di ciò che è importante. Cioè: a me non mi si può venire a dire di non guardare i grafici per cercare di risolvere il problema, non mi si può dire che l'idea di base non conta niente mentre conta solo l'aspetto formale. Ciò che mi piaceva al liceo della matematica era l'sapetto intuitivo che c'era dietro, mi piace vedere come variano visivamente le cose al variare di parametri o in genere cercare di capire delle cose in modo + intuitivo come ero abituato col mio prof del liceo. La formalizzazione secondo me è qualcosa che, molto spesso, è , sì, un passo necessario ma successivo all'intuizione, mentre a me sembra che qui ciò che interessa è solo la formalizzazione mentre l'intuizione è una cosa snobbata. Ciò che mi piaceva della matematica era l'approccio intuitivo che POI doveva ( e doveva) essere formalizzato. Uno stesso mio prof ha detto che "il difetto degli alunni del primo anno è interpretare". Secondo me invece l'interpretazione, l'intuizione sono una parte molto utile se non la + bella della matematica e sicuramente sono la parte che mi avevano spinto a scegliere questa facoltà. voi che ne pensate?
Che ne penso?
[size=150]1. che e' uno sfogo. E fai bene. Dopotutto questo forum serve anche a questo[/size]
2. che bisogna saper coniugare l'intuizione (fondamentale!) con la precisione, la tecnica, i calcoli
[size=75]3. goditi comunque il mio parere, tenendo presente che 21 anni fa ho vinto una cattedra di analisi e quindi forse un po' me ne intendo di matematica, anche se adesso, tutto preso con i miei giochi, la snobbo parecchio. Spero comunque di non aver perso il fiuto. Tieni presente che sono uno che i lavori scientifici li annusa.[/size]
Ciao e non de-mordere
[size=150]1. che e' uno sfogo. E fai bene. Dopotutto questo forum serve anche a questo[/size]
2. che bisogna saper coniugare l'intuizione (fondamentale!) con la precisione, la tecnica, i calcoli
[size=75]3. goditi comunque il mio parere, tenendo presente che 21 anni fa ho vinto una cattedra di analisi e quindi forse un po' me ne intendo di matematica, anche se adesso, tutto preso con i miei giochi, la snobbo parecchio. Spero comunque di non aver perso il fiuto. Tieni presente che sono uno che i lavori scientifici li annusa.[/size]
Ciao e non de-mordere
grazie hai ragione su tutti e 3 i punti!
Ciao fransis2!
Io condivido il tuo "sfogo" da un certo punto di vista: sono d'accordissimo col fatto che la formalizzazione è nulla senza l'intuizione (nel senso che viene dopo, come dicevi tu), e che quindi un 'formalista' puro dipende da uno che gli detta le idee. Tuttavia forse la tua prof ti ha risposto cosi' perché appunto volevi mostrarle l'idea non formalizzata tentando di formalizzarla al momento. Posso capire che se in un'esposizione ci sono degli errori passa la voglia di ascoltare. Forse potevi scrivere bene e verificare un po' di volte la tua idea prima di proporgliela. Naturalmente resta il fatto che a quanto ho capito non ha fatto un grande sforzo di capire cosa c'era dietro a quello che volevi dire, e non ti ha molto ascoltato; forse non ti ha 'concesso' la dovuta considerazione perché nella sua testa sei "solo" uno studente. Se è cosi', si tratta chiaramente di una mancanza da parte sua. Magari prova ad andare da lei ora che la tua idea è meglio formalizzata, chiedendole di ascoltarti. Si tratta infatti anche di reputazione, secondo me. Per la mia esperienza studenti indipendenti e con idee sono ben ascoltati.
Io condivido il tuo "sfogo" da un certo punto di vista: sono d'accordissimo col fatto che la formalizzazione è nulla senza l'intuizione (nel senso che viene dopo, come dicevi tu), e che quindi un 'formalista' puro dipende da uno che gli detta le idee. Tuttavia forse la tua prof ti ha risposto cosi' perché appunto volevi mostrarle l'idea non formalizzata tentando di formalizzarla al momento. Posso capire che se in un'esposizione ci sono degli errori passa la voglia di ascoltare. Forse potevi scrivere bene e verificare un po' di volte la tua idea prima di proporgliela. Naturalmente resta il fatto che a quanto ho capito non ha fatto un grande sforzo di capire cosa c'era dietro a quello che volevi dire, e non ti ha molto ascoltato; forse non ti ha 'concesso' la dovuta considerazione perché nella sua testa sei "solo" uno studente. Se è cosi', si tratta chiaramente di una mancanza da parte sua. Magari prova ad andare da lei ora che la tua idea è meglio formalizzata, chiedendole di ascoltarti. Si tratta infatti anche di reputazione, secondo me. Per la mia esperienza studenti indipendenti e con idee sono ben ascoltati.
si avete tutti perfettamente ragione... ragionando a mente più lucida ora mi rendo conto che magari anche alcune mie difficoltà di spiegare ciò che intendo possono aver contribuito a rendere più difficile il compito della professoressa. Quindi forse grossa parte della colpa ce l'ho anch'io. Comunque voglio ringraziarvi del sostegno e dei consigli. Grazie mille!
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