Soluzione problema Cauchy eq differenziale secondo ordine non omogenea

[Stanzi96]

Salve ho una domanda semplice: è possibile in questo caso stabilire a priori, senza trovarle effettivamente, quante e se il problema avrà soluzioni? se si come?
il fatto che nelle condizioni iniziali ci sia $beta$ e $+oo$ mi turba, non so come affrontarlo:

$ { ( y"-3y'+2y=e^(2x) ),( y(0)=beta , y(+oo)=0 ):} $

[otta96]

Sicuro di aver scritto bene il testo? A me quella non mi sembra del secondo ordine....

[pilloeffe]

Ciao Stanzi96,

Innanzitutto mi sa che hai scritto male, la prima $y$ in realtà è una $y''$, anche perché altrimenti non sarebbe un'equazione differenziale del secondo ordine...

L'equazione caratteristica dell'omogenea associata è

$\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0 \implies (\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0 \implies \lambda_1 = 1$ e $\lambda_2 = 2$, quindi la soluzione dell'omogenea associata è $y_o(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x}$ e, dato che la soluzione particolare è $y_p(x) = x e^{2x}$, la prima condizione potrebbe anche andare bene se per $\beta$ si intende un numero reale qualsiasi, ma per la seconda condizione, con tutti quegli esponenziali positivi, la vedo dura...

[Stanzi96]

Ah si scusate ho lasciato il simbolo della derivata seconda! Quindi...che fare? Non ha soluzione il pdc? Grazie per ora

[pilloeffe]

Non ha soluzione. Non che sia difficile trovare la soluzione dell'equazione differenziale, che è $y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x} + x e^{2x}$, ma si poteva capire dall'inizio che il pdc non aveva soluzione dal fatto che la soluzione particolare dell'equazione differenziale doveva essere del tipo $P(x) e^{2x}$, essendo $P(x)$ un polinomio, e tale soluzione particolare non può essere nulla per $x to +\infty$ (come richiede la seconda condizione).

[Stanzi96]

Infatti la soluzione era facile da calcolare, ma volevo evitare il passaggio; mi si richiedeva infatti solo di dire se e quante soluzioni avesse il pdc. Quindi in generale potrei osservare in che forma mi esca la soluzione e vedere se le condizioni iniziali sono "plausibili"?
e se ci fossero state, avrei dovuto solo calcolarle giusto? cioè l'unico modo di sapere quante soluzioni abbia il pdc è calcolarle?

[pilloeffe]

Ciao Stanzi96,

"Stanzi96":Quindi in generale potrei osservare in che forma mi esce la soluzione e vedere se le condizioni iniziali sono "plausibili"?

"Stanzi96":e se ci fossero state, avrei dovuto solo calcolarle giusto? cioè l'unico modo di sapere quante soluzioni abbia il pdc è calcolarle?

Sussiste il Teorema di esistenza ed unicità per un problema di Cauchy, che stabilisce quali sono le condizioni di esistenza ed unicità della soluzione di un pdC, che in genere sono soddisfatte da quasi tutte le funzioni "ragionevoli" che compaiono negli esercizi...

[Stanzi96]

"pilloeffe":
Sussiste il Teorema di esistenza ed unicità per un problema di Cauchy, che stabilisce quali sono le condizioni di esistenza ed unicità della soluzione di un pdC, che in genere sono soddisfatte da quasi tutte le funzioni "ragionevoli" che compaiono negli esercizi...

Grazie ho letto, e me lo sono studiato credo di aver capito, se ho problemi vi interpello di nuovo! siete stati gentilissimi! grazie ancora..