Soluzione periodica di sistema Hamiltoniano

[Daniele Florian]

Ho sugli appunti un teorema che afferma in sostanza che un sistema hamiltoniano del tipo
$ x'(t)=I H_x(x(t)) $
visto come equazione di Eulero Lagrange di un certo problema ammette una soluzione periodica se tra le ipotesi vi è la convessità, la non negatività e la coercità (si dice così? ) di H.

volevo chiedere se qualcuno ha informazioni riguardo a questo risultato in particolare una dimostrazione...
grazie.

[dissonance]

Si dice "coercitività" o anche "coercività" (ma pare che questo sia un inglesismo, vedi post523271.html#p523271 ).

\(IH\) che significa? Risultati di questo tipo si ottengono talvolta riformulando il problema in termini variazionali, però dovresti controllare il testo che non è chiaro. Sei sicuro dell'equazione?

[Daniele Florian]

si, la formula è la matrice simplettica per l hamiltoniana, è il sistema hamiltoniano scritto in forma matriciale...

[dissonance]

Ah, ho capito, scusa la mia ignoranza. Si allora, visto anche che parli di equazione di Eulero Lagrange immagino che l'approccio sia variazionale. Non ne so abbastanza da risponderti ma sposto nella sezione di Analisi Matematica dove potresti avere più fortuna.

[Cmax1]

Ho un lontano e confuso ricordo di qualcosa di simile che si chiamava Teorema di Weinstein, la cui forma più simile che ho ritrovato è questa

Se $H$ è abbastanza buona e $S$ è una superficie compatta, convessa e regolare ad energia costante, allora l'equazione $\dot{x}=J\gradH(x)$ ($J$ matrice simplettica) ha una soluzione periodica su $S$,
ma confesso di non averne mai studiato la dimostrazione.

Una veloce ricerca bibliografica sulle soluzioni periodiche di sistemi hamiltoniani mi ha dato alcuni riferimenti che potrebbero essere utili:
A.Weinstein, Periodic orbits for convex Hamiltonian systems, Ann. of Math. (2) 108 (1978), no.3, 507-518;
P.Rabinowitz, Periodic solutions of Hamiltonian systems, Comm. Pure Appl. Math. 31 (1978), no. 2, 157-184
C.Viterbo, A proof of Weinstein's conjecture in R^{2n} , Ann. Inst. H. Poincar Anal. Non Linaire 4 (1987), no. 4, 337-356.
e qualche link:
Una Trasformata di Legendre su un modello non standard
Sulle soluzioni quasi-periodiche di sistemi hamiltoniani differenziabili
Sintesi sulla ricerca di soluzioni periodiche
Metodi variazionali nello studio di sistemi Hamiltoniani