Soluzione per serie

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti, chiedo aiuto per risolvere il seguente esercizio.

Qual è la soluzione per serie del problema di Cauchy $y'=2y+1, y(1)=1$

[cavallipurosangue]

Scusa se te lo chiedo, ma che cosa sarebbe la soluzione per serie? Non si può risolvere semplicemente come equazione lineare del primo ordine?

[Sk_Anonymous]

Ciao, anch'io la risolverei come una normale eq omogenea ::D ma l'esercizio in questione impone di scegliere come soluzione una soluzione 'per serie' tra queste quattro:

$y(x)=1+3x+3/2x^2+..$
$y(x)=1+3(x-1)+3(x-1)^2+..$
$y(x)=1+3(x-1)+1/2(x-1)^2+..$
$y(x)=1+2(x-1)+5/2(x-1)^2+..$



che sia la serie di taylor della y(x) trovata nel punto (1,1) ? ora ci provo...

[Sk_Anonymous]

Puo' essere utile sapere come si risolve per serie l'equazione proposta.
Poiche' deve essere y(1)=1 e' ragionevole porre:
$y=1+sum_(n=1)^ooa_n(x-1)^n=1+a_1(x-1)+a_2(x-1)^2+a_3(x-1)^3+a_4(x-1)^4+....$
Ci tocca ora trovare i coefficienti $a_n$ e per questo deriviamo termine
a termine la serie (ammesso che cio' sia possibile):
$y'=a_1+2a_2(x-1)+3a_3(x-1)^2+4a_4(x-1)^3+.....$
Sostituendo nell'equazione data risulta:
$a_1+2a_2(x-1)+3a_3(x-1)^2+4a_4(x-1)^3+.....=3+2a_1(x-1)+2a_2(x-1)^2+2a_3(x-1)^3+....$
Pertanto, per il principio d'identita' dei polinomi (qui pero' ho un dubbio) deve essere:
$a_1=3,a_2=a_1=3,3a_3=2a_2->a_3=2,4a_4=2a_3->a_4=1,....$
In generale risulta:$a_1=3$ e per n>1: $na_n=2a_(n-1) $
Concludendo la nostra soluzione (espressa come serie) e':
$y=1+3(x-1)+3(x-1)^2+2(x-1)^3+((x-1)^4+....$
da cui si trae che la risposta esatta e' la N°2.
Archimede