Soluzione particolare equazione differenziale lineare
nella seguente equazione differenziale c'ho un dubbio che mi affligge
$y^(''')+y^('')-y^{\prime}-y=(1+x-x^2)e-x$
la soluzione particolare va ricercata nella classe $y(x)=ax^2+bx+c$ dato che al secondo membro abbiamo un polinomio di secondo grado. esatto?
$y^(''')+y^('')-y^{\prime}-y=(1+x-x^2)e-x$
la soluzione particolare va ricercata nella classe $y(x)=ax^2+bx+c$ dato che al secondo membro abbiamo un polinomio di secondo grado. esatto?
Risposte
no, lo è solo se $\a$ di $e^(ax)$ non è soluzione dell' omogenea associata, altrimenti, per ogni molteplicità di $a$ moltiplichi per $x$ quel polinomio di secondo grado..
"stefano_89":
no, lo è solo se $\a$ di $e^(ax)$ non è soluzione dell' omogenea associata, altrimenti, per ogni molteplicità di $a$ moltiplichi per $x$ quel polinomio di secondo grado..
ma io ottengo come soluzione dell'equazione caratteristica
$a=1$ e $a=-1$ quest'ultimo con molteplicità $2$.
quindi l'integrale generale dell'omogenea è: $c_1e^(-x)+c_2e^x+c_3xe^x$
ma io al secondo membro non ho nessun $e^x$. ho semplicemente un polinomio
"mazzy89":
[quote="stefano_89"]no, lo è solo se $\a$ di $e^(ax)$ non è soluzione dell' omogenea associata, altrimenti, per ogni molteplicità di $a$ moltiplichi per $x$ quel polinomio di secondo grado..
ma io ottengo come soluzione dell'equazione caratteristica
$a=1$ e $a=-1$ quest'ultimo con molteplicità 2.
quindi l'integrale generale dell'omogenea è: $c_1e^(-x)+c_2e^x+c_3xe^x$[/quote]
e allora ? si sta parlando di come è fatta la sol particolare..
"stefano_89":
[quote="mazzy89"][quote="stefano_89"]no, lo è solo se $\a$ di $e^(ax)$ non è soluzione dell' omogenea associata, altrimenti, per ogni molteplicità di $a$ moltiplichi per $x$ quel polinomio di secondo grado..
ma io ottengo come soluzione dell'equazione caratteristica
$a=1$ e $a=-1$ quest'ultimo con molteplicità 2.
quindi l'integrale generale dell'omogenea è: $c_1e^(-x)+c_2e^x+c_3xe^x$[/quote]
e allora ? si sta parlando di come è fatta la sol particolare..[/quote]
quindi devo andare a ricerca la soluzione dell'equazione differenziale completa nella classe $ax^2+bx+c$
scusa, sarà il caldo, ma veramente non riesco a seguire il tuo ragionamento. Ripartiamo da capo: se il termine noto è del tipo $Pn(x)e^(ax)$ dove $Pn(x)$ è un polinomio di grado $n$, allora la sol. particolare ha forma:
- $Pn(x)e^(ax)$, se $a$ non è sol. dell' eq. caratteristica;
- $xPn(x)e^(ax)$, se $a$ è sol. dell' eq. caratteristica di molteplicità 1;
- $x^2Pn(x)e^(ax)$, se $a$ è sol. dell' eq. caratteristica di molteplicità 2;
- ecc..
- $Pn(x)e^(ax)$, se $a$ non è sol. dell' eq. caratteristica;
- $xPn(x)e^(ax)$, se $a$ è sol. dell' eq. caratteristica di molteplicità 1;
- $x^2Pn(x)e^(ax)$, se $a$ è sol. dell' eq. caratteristica di molteplicità 2;
- ecc..
"stefano_89":
scusa, sarà il caldo, ma veramente non riesco a seguire il tuo ragionamento. Ripartiamo da capo: se il termine noto è del tipo $Pn(x)e^(ax)$ dove $Pn(x)$ è un polinomio di grado $n$, allora la sol. particolare ha forma:
- $Pn(x)e^(ax)$, se $a$ non è sol. dell' eq. caratteristica;
- $xPn(x)e^(ax)$, se $a$ è sol. dell' eq. caratteristica di molteplicità 1;
- $x^2Pn(x)e^(ax)$, se $a$ è sol. dell' eq. caratteristica di molteplicità 2;
- ecc..
ah ah ah ho capito il tuo problema a te sembra che quel $-x$ dopo la $e$ sia ad elevare la $e$ ma invece no. E' semplicemente un polinomio P_n(x) di grado 2
aaaah svelato il mistero, ho interpretato come hai detto tu.. 
comunque il discorso appena fatto rimane assolutamente valido, consideranto $a = 0$, che appunto toglierebbe di mezzo l' esponenziale..
comunque il discorso appena fatto rimane assolutamente valido, consideranto $a = 0$, che appunto toglierebbe di mezzo l' esponenziale..
"stefano_89":
aaaah svelato il mistero, ho interpretato come hai detto tu..
comunque il discorso appena fatto rimane assolutamente valido, consideranto $a = 0$, che appunto toglierebbe di mezzo l' esponenziale..
quindi cerchiamo sempre nella classe $ax^2+bx+c$
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