Soluzione particolare di un'equazione differenziale del sec ord non omog
Salve ragazzi,
Ho un problema con questa equazione perché in verità non ho trovato appunti abbastanza chiari sul metodo generale per risolverle. Quando cerco una soluzione particolare significa che devo considerare tutta l'eq incluso il termine forzante o solo il termine forzante e farne l'integrale due volte? Sugli appunti sta scritto cje bisogna considerare il termine come un polinomio moltiplicato per l'esponenziale... ma davvero non saprei, sono abbastanza confuso, che devo fare?
Ps ho le condizioni iniziali.
Ho un problema con questa equazione perché in verità non ho trovato appunti abbastanza chiari sul metodo generale per risolverle. Quando cerco una soluzione particolare significa che devo considerare tutta l'eq incluso il termine forzante o solo il termine forzante e farne l'integrale due volte? Sugli appunti sta scritto cje bisogna considerare il termine come un polinomio moltiplicato per l'esponenziale... ma davvero non saprei, sono abbastanza confuso, che devo fare?
Ps ho le condizioni iniziali.
Risposte
Un banale cambiamento di variabile riduce la EDO ad una del primo ordine che si integra più o meno a mano.
Poi ti basta integrare nuovamente.
Poi ti basta integrare nuovamente.
Non ho capito.
Dici di sostituire z'=y'' ? Che intendi per "integrare a mano"??
Dici di sostituire z'=y'' ? Che intendi per "integrare a mano"??
Ciao alextimes,
Dice di porre $z := y' \implies z' = y'' $, dopodiché l'equazione differenziale in $z $ è del primo ordine ed integrando si trova abbastanza facilmente $z$: dato poi che $y' = z $, integrando nuovamente si trova $y$
"alextimes":
Dici di sostituire z'=y'' ?
Dice di porre $z := y' \implies z' = y'' $, dopodiché l'equazione differenziale in $z $ è del primo ordine ed integrando si trova abbastanza facilmente $z$: dato poi che $y' = z $, integrando nuovamente si trova $y$
Già avevo provato facendo così, ma non è neanche lontanamente simile alla soluzione. La soluzione è:
\( ({\frac{v_0 sinθ}{γ}+ {\frac{g}{γ^2}}})[(e^{-γt}-1)+{\frac{g}{γ}}t].......con..γ={\frac{λ}{m}} \)
Qualche buon utente può mostrarmi un metodo generale utile e valido?
\( ({\frac{v_0 sinθ}{γ}+ {\frac{g}{γ^2}}})[(e^{-γt}-1)+{\frac{g}{γ}}t].......con..γ={\frac{λ}{m}} \)
Qualche buon utente può mostrarmi un metodo generale utile e valido?
Quali sono le condizioni iniziali accoppiate alla EDO?
Che la soluzione sia quella è un dogma fondamentale della tua religione, oppure l’hai verificato “a mano”?
Che la soluzione sia quella è un dogma fondamentale della tua religione, oppure l’hai verificato “a mano”?
Il dogma fondamentale della mia religione dice: "Non contestare i risultati sotto l'esercizio se non sai nemmeno come farlo."
Del resto è per questo che ho chiesto spiegazioni
Le condizioni iniziali sono:
y(0) = 0
y'(0) = v_0 sinθ
Del resto è per questo che ho chiesto spiegazioni
Le condizioni iniziali sono:
y(0) = 0
y'(0) = v_0 sinθ
Qui non si tratta di "contestare", ma di verificare la correttezza di un risultato.
Hai provato a farlo? (Questo ti stavo chiedendo)
Tra un po' posto qualche contariello.
Hai provato a farlo? (Questo ti stavo chiedendo)
Tra un po' posto qualche contariello.
Bene, allora abbassando l'ordine della EDO con la sostituzione \( z(t) = \dot{y} (t)\) il p.d.C. diventa:
\[
\begin{cases}
\dot{z} (t) + \gamma \sin \theta\ z(t) = -g\\
z(0) = v_0\sin \theta
\end{cases}
\]
in cui immagino che $\theta, \gamma, v_0, g$ siano costanti assegnate "decentemente" (probabilmente con qualche significato fisico).
Tale problema ha unica soluzione, che si determina sfruttando una delle qualsiasi tecniche risolutive per EDO lineari complete del primo ordine:
\[
z (t) = -\frac{g}{\gamma \sin \theta} + \frac{g +\gamma v_0 \sin^2\theta}{\gamma \sin\theta}\ e^{-\gamma \sin \theta\ t}\; .
\]
Per determinare $y$ basta tenere presente che il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale implica:
\[
y(t) = \int_0^t z(\tau)\ \text{d} \tau\; .
\]
\[
\begin{cases}
\dot{z} (t) + \gamma \sin \theta\ z(t) = -g\\
z(0) = v_0\sin \theta
\end{cases}
\]
in cui immagino che $\theta, \gamma, v_0, g$ siano costanti assegnate "decentemente" (probabilmente con qualche significato fisico).
Tale problema ha unica soluzione, che si determina sfruttando una delle qualsiasi tecniche risolutive per EDO lineari complete del primo ordine:
\[
z (t) = -\frac{g}{\gamma \sin \theta} + \frac{g +\gamma v_0 \sin^2\theta}{\gamma \sin\theta}\ e^{-\gamma \sin \theta\ t}\; .
\]
Per determinare $y$ basta tenere presente che il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale implica:
\[
y(t) = \int_0^t z(\tau)\ \text{d} \tau\; .
\]
Date le condizioni iniziali che hai scritto, suppongo che $\gamma $, $v_0 $ e $sin\theta $ siano costanti, per cui, come ti è già stato suggerito, ponendo $ z := y' \implies z' = y'' $ si ottiene l'equazione differenziale del primo ordine seguente:
$z' + \gamma sin\theta z = - g $
Posto per comodità $a := \gamma sin\theta $ e $b := - g $ quest'ultima equazione differenziale come dovrebbe esserti noto ha la soluzione seguente:
$z(t) = e^{- int a dt}(int e^{int a dt} b dt + c_1) = e^{- a t}(- g int e^{a t} dt + c_1) = e^{- a t}(- g frac{e^{a t}}{a } + c_1) $
ove $c_1$ è una costante arbitraria da determinare in base alle condizioni che hai scritto, in particolare la seconda:
$y'(0) = z(0) = v_0 sin\theta = frac{a v_0}{\gamma} $
Quindi si ha:
$z(0) = frac{a v_0}{\gamma} = e^{0}(- g frac{e^{0}}{a} + c_1) \implies frac{a v_0}{\gamma} = - frac{g}{a} + c_1 \implies c_1 = frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a \gamma} $
Perciò si ottiene:
$ z(t) = e^{- a t}(- g frac{e^{a t}}{a} + frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a \gamma}) = - frac{g}{a} + frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a \gamma} e^{-a t} $
Che coincide con la soluzione già proposta da gugo82. Magari ho sbagliato qualcosa, ma non mi torna invece il risultato che hai scritto, perché ricordando che $y'(t) = z(t) $, si ha:
$y'(t) = z(t) = - frac{g}{a} + frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a \gamma} e^{-a t} $
Integrandola di nuovo si trova $y(t) $:
$y(t) = - frac{g}{a} int dt + frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a \gamma} int e^{-a t} dt = - frac{g}{a} t - frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a^2 \gamma} e^{-a t} + c_2 $
ove $c_2 $ è una costante da determinare in base alla prima condizione che hai scritto, cioè $y(0) = 0 $:
$0 = y(0) = - frac{g}{a} \cdot 0 - frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a^2 \gamma} e^{0} + c_2 \implies c_2 = frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a^2 \gamma} = frac{v_0}{\gamma} + frac{g}{a^2} $
In definitiva si ottiene:
$y(t) = - frac{g}{a} t - frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a^2 \gamma} e^{-a t} + frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a^2 \gamma} = (frac{v_0}{\gamma} + frac{g}{a^2})(1 - e^{- at}) - frac{g}{a} t $
$z' + \gamma sin\theta z = - g $
Posto per comodità $a := \gamma sin\theta $ e $b := - g $ quest'ultima equazione differenziale come dovrebbe esserti noto ha la soluzione seguente:
$z(t) = e^{- int a dt}(int e^{int a dt} b dt + c_1) = e^{- a t}(- g int e^{a t} dt + c_1) = e^{- a t}(- g frac{e^{a t}}{a } + c_1) $
ove $c_1$ è una costante arbitraria da determinare in base alle condizioni che hai scritto, in particolare la seconda:
$y'(0) = z(0) = v_0 sin\theta = frac{a v_0}{\gamma} $
Quindi si ha:
$z(0) = frac{a v_0}{\gamma} = e^{0}(- g frac{e^{0}}{a} + c_1) \implies frac{a v_0}{\gamma} = - frac{g}{a} + c_1 \implies c_1 = frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a \gamma} $
Perciò si ottiene:
$ z(t) = e^{- a t}(- g frac{e^{a t}}{a} + frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a \gamma}) = - frac{g}{a} + frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a \gamma} e^{-a t} $
Che coincide con la soluzione già proposta da gugo82. Magari ho sbagliato qualcosa, ma non mi torna invece il risultato che hai scritto, perché ricordando che $y'(t) = z(t) $, si ha:
$y'(t) = z(t) = - frac{g}{a} + frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a \gamma} e^{-a t} $
Integrandola di nuovo si trova $y(t) $:
$y(t) = - frac{g}{a} int dt + frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a \gamma} int e^{-a t} dt = - frac{g}{a} t - frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a^2 \gamma} e^{-a t} + c_2 $
ove $c_2 $ è una costante da determinare in base alla prima condizione che hai scritto, cioè $y(0) = 0 $:
$0 = y(0) = - frac{g}{a} \cdot 0 - frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a^2 \gamma} e^{0} + c_2 \implies c_2 = frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a^2 \gamma} = frac{v_0}{\gamma} + frac{g}{a^2} $
In definitiva si ottiene:
$y(t) = - frac{g}{a} t - frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a^2 \gamma} e^{-a t} + frac{a^2 v_0 + g\gamma}{a^2 \gamma} = (frac{v_0}{\gamma} + frac{g}{a^2})(1 - e^{- at}) - frac{g}{a} t $
Grazie mille ad entrambi per l'aiuto 
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