Soluzione particolare di ODE del 2°ordine
ciao a tutti!
Sono alle prime armi con le ODE del secondo ordine e non so se come soluzione particolare dell'equazione x"(t)+4x'(t)+5x(t)=4sint posso averne una complessa..
la soluzione generale è $x(t)=[e^(-2t)][c1.cost+c2.sint]$ mentre quella particolare risulta uguale a $sint/(1+i)$...non mi ero mai trovato difronte ad una situazione simile;devo prendere la parte reale della soluzione particolare oppure c'è un procedimento particolare?
ma soprattutto,qual è la regola generale in questi casi?!
Qualcuno potrebbe darmi una mano???ah...buon anno a tutti!!!
Sono alle prime armi con le ODE del secondo ordine e non so se come soluzione particolare dell'equazione x"(t)+4x'(t)+5x(t)=4sint posso averne una complessa..
la soluzione generale è $x(t)=[e^(-2t)][c1.cost+c2.sint]$ mentre quella particolare risulta uguale a $sint/(1+i)$...non mi ero mai trovato difronte ad una situazione simile;devo prendere la parte reale della soluzione particolare oppure c'è un procedimento particolare?
ma soprattutto,qual è la regola generale in questi casi?!
Qualcuno potrebbe darmi una mano???ah...buon anno a tutti!!!
Risposte
"geminis":
ciao a tutti!
Sono alle prime armi con le ODE del secondo ordine e non so se come soluzione particolare dell'equazione x"(t)+4x'(t)+5x(t)=4sint posso averne una complessa..
la soluzione generale è $x(t)=[e^(-2t)][c1.cost+c2.sint]$ mentre quella particolare risulta uguale a $sint/(1+i)$...non mi ero mai trovato difronte ad una situazione simile;devo prendere la parte reale della soluzione particolare oppure c'è un procedimento particolare?
ma soprattutto,qual è la regola generale in questi casi?!
Qualcuno potrebbe darmi una mano???ah...buon anno a tutti!!!
$x(t)=x_o(t)+x_p(t)$ con
$x_o(t)=e^(-2t)*(Acost+Bsint)$ mentre, essendo il termine noto una funzione del tipo $4sint$ allora la soluzione particolare sarà una combinazione lineare di seno e coseno, cioè $x_p(t)=Ccost+Dsint$. Ora
$x'_p(t)=-Csint+Dcost,x''_p(t)=-Ccost-Dsint$ per cui sostituendo nell'equazione $x''(t)+4x'(t)+5x(t)=4sint$ si ha:
$-Ccost-Dsint+4*(-Csint+Dcost)+5(Ccost+Dsint)=4sint$ cioè
$(4D+4C)cost+(4D-4C)sint=4sint$ per cui bisogna risolvere il sistema ${(4D+4C=0),(4D-4C=4):}$ cioè ${(D=1/2),(C=-1/2):}$ per cui
$x_p(t)=1/2(sint-cost)=1/(sqrt2)*sin(t-pi/4)$ per cui
$x(t)=x_o(t)+x_p(t)=e^(-2t)*(Acost+Bsint)+1/(sqrt2)*sin(t-pi/4)$
Ecco come devi comportarti in questa situazione: supponiamo di avere un'equazione differenziale di ordine $n$ lineare ed a coefficienti costanti del tipo $y^n(x)+a_1y^(n-1)(x)+.....+a_ny(x)=f(x)$ con $f(x)=a*cos(beta*x)+b*sin(beta*x)$ (il tuo caso) ed $a_1,a_2,...,a_n$ costanti reali. ecco i passi da seguire:
1)Calcolo delle radici $lambda_(1,2,...,n)$ del polinomio caratteristico $lambda^n+a_1*lambda^(n-1)+...+a_n=0$
2)Se $+-i*beta$ non è soluzione del polinomio caratteristico, cioè non è una radice del polinomio, allora la soluzione particolare è del tipo $y_p(x)=Acos(beta*x)+Bsin(beta*x)$ con $A,B$ costanti da determinare.
3) Se $+-i*beta$ è soluzione del polinomio caratteristico, con molteplicità $k$, allora la soluzione particolare è del tipo
$y_p(x)=x^k*(Acos(beta*x)+Bsin(beta*x))$ con $A,B$ costanti da determinare.
Nel tuo caso $n=2,f(t)=4sint,beta=1,lambda_(1,2)=-2+-i$ quindi $+-i*beta=+-i$ non è soluzione del polinomio caratteristico, ecco per cui la soluzione particolare sarà una combinazione lineare di seno e coseno, cioè $x_p(t)=Ccost+Dsint$.
Se vuoi che ti spieghi come bisogna comportarsi con altri tipi di termini noti $f(x)$, dimmelo che lo faccio.
grazie nicola,
ho capito tutto,però la mia prof vuole che sappiamo risolvere questo tipo di equazioni dal punto di vista della fisica matematica,perciò,pur avendo accennato ad un procedimento semplice in cui la soluzione particolare è Asint+Bcost ,vuole che la soluzione particolare da adottare sempre sia $[e^[(a+bi)t]]/[p(a+bi)]$ .
Non ho capito se il nominatore si possa generalizzare nella formula che ho appena scritto ma sono certo che in ogni caso esso equivale al secondo membro della ode e deve essere trasformato con l'esponenziale il quale deve sostituire le funzioni sent e cost grazie alle relazioni
$sin(δt)=Im[e^(δit)]$ e $cos(δt)=Re[e^(δit)]$ .
Perciò nell'esercizio la soluzione particolare che ho calcolato dovrebbe essere $(4sint)/[p(a+bi)]=[4Im[e^(it)]]/[p(i)]=(4sint)/(-1+ai+5)=sint/(1+i)$ e da qui i miei dubbi...
Dato che non so se ho fatto bene i calcoli in questo esercizio,te ne scrivo un altro fatto dalla prof che sicuramente è corretto nella sua procedura:
$x"+3x'+7x=(15/4)[e^(-3t/2)]sint$ ;stavolta la soluzione particolare è $[Im[(15/4)[e^[((-3/2)+i)t]]sint]]/[p[(-3/2)+i]]=[e^(-3t/2)]sint$
non so proprio che pesci prendere...la procedura in analisi matematica sembra molto più facile ma io devo applicare necessariamente quella della fisica matematica!!!
ho capito tutto,però la mia prof vuole che sappiamo risolvere questo tipo di equazioni dal punto di vista della fisica matematica,perciò,pur avendo accennato ad un procedimento semplice in cui la soluzione particolare è Asint+Bcost ,vuole che la soluzione particolare da adottare sempre sia $[e^[(a+bi)t]]/[p(a+bi)]$ .
Non ho capito se il nominatore si possa generalizzare nella formula che ho appena scritto ma sono certo che in ogni caso esso equivale al secondo membro della ode e deve essere trasformato con l'esponenziale il quale deve sostituire le funzioni sent e cost grazie alle relazioni
$sin(δt)=Im[e^(δit)]$ e $cos(δt)=Re[e^(δit)]$ .
Perciò nell'esercizio la soluzione particolare che ho calcolato dovrebbe essere $(4sint)/[p(a+bi)]=[4Im[e^(it)]]/[p(i)]=(4sint)/(-1+ai+5)=sint/(1+i)$ e da qui i miei dubbi...
Dato che non so se ho fatto bene i calcoli in questo esercizio,te ne scrivo un altro fatto dalla prof che sicuramente è corretto nella sua procedura:
$x"+3x'+7x=(15/4)[e^(-3t/2)]sint$ ;stavolta la soluzione particolare è $[Im[(15/4)[e^[((-3/2)+i)t]]sint]]/[p[(-3/2)+i]]=[e^(-3t/2)]sint$
non so proprio che pesci prendere...la procedura in analisi matematica sembra molto più facile ma io devo applicare necessariamente quella della fisica matematica!!!
volevo scrivere $x''+3x'+7x=(15/4)[e^(-3t/2)]sint$
"geminis":
volevo scrivere $x''+3x'+7x=(15/4)[e^(-3t/2)]sint$
bene, ma comunque tu devi prendere la parte immaginaria di tutta la frazione.
Ad esempio nel primo caso $y_p(t)=Im[e^(i*t)/(1+i)]$
Ora tu sai che $1+i=sqrt2*e^(i*pi/4)$ per cui $e^(i*t)/(1+i)=1/(sqrt2)*e^(i*(t-pi/4))$ da cui prendendone la parte immaginaria si ha $y_p(t)=Im[1/(sqrt2)*e^(i*(t-pi/4))]=1/(sqrt2)*sin(t-pi/4)$ come mi trovo con l'altro metodo.
Nel secondo caso tu hai $p(-3/2+i)=(-3/2+i)^2+3*(-3/2+i)+7=15/4$ per cui
$(15/4*e^(-3/2*t)*e^(i*t))/(p(-3/2+i))=e^(-3/2*t)*e^(i*t)$ per cui la parte immaginaria è
$Im[(15/4*e^(-3/2*t)*e^(i*t))/(p(-3/2+i))]=Im[e^(-3/2*t)*e^(i*t)]=e^(-3/2*t)*Im[e^(i*t)]=e^(-3/2*t)*sint$
chiaro?
ok,ci sono quasi...
quindi deduco che in generale,cioè per a,b complessi $Im(a/b)!=(Im(a))/(Im(b))$ e lo stesso per la parte reale,immagino...ma allora non riesco a capire come si può risolvere un altro esercizio:
$8x''+12x'+5x=(3/2)(e^(-3/4t))cos(t/2)$...
cioè,dovrei risolvere la soluzione particolare $Re[[(3/2)(e^(-3/4t))(e^(1/2it))]/[p(1/2i)]]=Re[[(3/2)(e^(-3/4t))(e^(1/2it))]/[3(1+2i)]]$ e non posso scrivere $[(3/2)(e^(-3/4t))cos(t/2)]/[Re[3(1+2i)]]=(1/2)(e^(-3/4t))cos(t/2)$ ?
Oppure sbaglio in qualcos'altro?
grazie e scusami per il tempo che ti sto facendo perdere!
quindi deduco che in generale,cioè per a,b complessi $Im(a/b)!=(Im(a))/(Im(b))$ e lo stesso per la parte reale,immagino...ma allora non riesco a capire come si può risolvere un altro esercizio:
$8x''+12x'+5x=(3/2)(e^(-3/4t))cos(t/2)$...
cioè,dovrei risolvere la soluzione particolare $Re[[(3/2)(e^(-3/4t))(e^(1/2it))]/[p(1/2i)]]=Re[[(3/2)(e^(-3/4t))(e^(1/2it))]/[3(1+2i)]]$ e non posso scrivere $[(3/2)(e^(-3/4t))cos(t/2)]/[Re[3(1+2i)]]=(1/2)(e^(-3/4t))cos(t/2)$ ?
Oppure sbaglio in qualcos'altro?
grazie e scusami per il tempo che ti sto facendo perdere!
"geminis":
ok,ci sono quasi...
quindi deduco che in generale,cioè per a,b complessi $Im(a/b)!=(Im(a))/(Im(b))$ e lo stesso per la parte reale,immagino...ma allora non riesco a capire come si può risolvere un altro esercizio:
$8x''+12x'+5x=(3/2)(e^(-3/4t))cos(t/2)$...
cioè,dovrei risolvere la soluzione particolare $Re[[(3/2)(e^(-3/4t))(e^(1/2it))]/[p(1/2i)]]=Re[[(3/2)(e^(-3/4t))(e^(1/2it))]/[3(1+2i)]]$ e non posso scrivere $[(3/2)(e^(-3/4t))cos(t/2)]/[Re[3(1+2i)]]=(1/2)(e^(-3/4t))cos(t/2)$ ?
Oppure sbaglio in qualcos'altro?
grazie e scusami per il tempo che ti sto facendo perdere!
figurati, è semplice pure ora.
Innanzitutto in generale $Im(a/b)!=(Im(a))/(Im(b))$, $Re(a/b)!=(Re(a))/(Re(b))$. Quindi devi prima calcolare tutta la frazione $a/b$ e poi prenderne la parte reale o immaginaria. Quindi anche alla fine supponendo che i calcoli siano stati fatti bene (sono errati i tuoi, vedi i miei) non puoi scrivere$Re[[(3/2)(e^(-3/4t))(e^(1/2it))]/[3(1+2i)]]=[(3/2)(e^(-3/4t))cos(t/2)]/[Re[3(1+2i)]]$.
Fatte le precisazioni l'equazione si risolve in tal modo:
$y_p(t)=Re[(3/2*e^(t(-3/4+i/2)))/(p(-3/4+i/2))]$ con
$p(-3/4+i/2)=8(-3/4+i/2)^2+12(-3/4+i/2)+5=-3/2$ per cui
$y_p(t)=Re[(3/2*e^(t(-3/4+i/2)))/(p(-3/4+i/2))]=Re[(3/2*e^(t(-3/4+i/2)))/(-3/2)]=Re[-e^(t(-3/4+i/2))]=-e^(-3/4t)*cos(t/2)$
La soluzione dell'omogenea associata è $y_o(t)=e^(-3/4t)*[Acos(t/4)+Bsin(t/4)]$, per cui la soluzione finale è
$y(t)=y_o(t)+y_p(t)=e^(-3/4t)*[Acos(t/4)+Bsin(t/4)]-e^(-3/4t)*cos(t/2)$
scusami,sono stato davvero distratto e mi sn dimenticato la parte reale nel calcolo del polinomio caratteristico,infatti era davvero semplice!...in ogni caso l'identità relativa alle parti immaginarie/reali non sono corrette,vero?intendo dire quelle di cui parlo all'inizio del post precedente...
"geminis":
scusami,sono stato davvero distratto e mi sn dimenticato la parte reale nel calcolo del polinomio caratteristico,infatti era davvero semplice!...in ogni caso l'identità relativa alle parti immaginarie/reali non sono corrette,vero?intendo dire quelle di cui parlo all'inizio del post precedente...
$Im(a/b)!=(Im(a))/(Im(b))$, $Re(a/b)!=(Re(a))/(Re(b))$
facciamo un esempio $a=1+i,b=1-i$. allora
$a/b=(1+i)/(1-i)=((1+i)(1+i))/((1-i)(1+i))=(1+i)^2/2=(1-1+2i)/2=i$ per cui
$Re(a/b)=0,Im(a/b)=1$.
Invece se valesse l'identità da te scritta allora
$Re(a/b)=(Re(a))/(Re(b))=1,Im(a/b)=(Im(a))/(Im(b))=1/(-1)=-1$ contrariamente a quanto dovrebbe essere. per cui
$Im(a/b)!=(Im(a))/(Im(b)), Re(a/b)!=(Re(a))/(Re(b))$
grazie della conferma,le tue spiegazioni sono state illuminanti!
"geminis":
grazie della conferma,le tue spiegazioni sono state illuminanti!
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