Soluzione Limiti
Ciao a tutti è il mio primo post, mi sto esercitando con dei Limiti di funzioni, e non avendo i risultati o le soluzioni sono un pò insicuro sul risultato.
Mi potete aiutare ????
es.
$\lim_{n \to \infty}(n/(sqrt(n+1/n))-(n+1)/(sqrt(n))$
a me viene $oo$
potete darmi una mano per favore ?[/tex]
Mi potete aiutare ????
es.
$\lim_{n \to \infty}(n/(sqrt(n+1/n))-(n+1)/(sqrt(n))$
a me viene $oo$
potete darmi una mano per favore ?[/tex]
Risposte
"valerio100":
Ciao a tutti è il mio primo post, mi sto esercitando con dei Limiti di funzioni, e non avendo i risultati o le soluzioni sono un pò insicuro sul risultato.
Mi potete aiutare ????
es.
$\lim_{n \to \infty}(n/(sqrt(n+1/n))-(n+1)/(sqrt(n)))$
a me viene $oo$
potete darmi una mano per favore ?[/tex]
Attento, ti posto i calcoli però guardali per capire l'errore:
$\lim_{n \to \infty}(n/(sqrt(n+1/n))-(n+1)/(sqrt(n)))=\lim_{n \to \infty}(n*sqrt(n+1/n)/(sqrt(n+1/n)*sqrt(n+1/n))-(n+1)*sqrt(n)/(sqrt(n)*sqrt(n)))=\lim_{n \to \infty}(n*sqrt(n+1/n)/(n+1/n))-(n+1)*sqrt(n)/(n)=\lim_{n \to \infty}(n*sqrt(n+1/n)/(n*(1+1/n^2)))-n*(sqrt(n)+sqrt(n)/n)/(n)$
A questo punto semplifichi il termine $n$ e continui da solo perchè il risultato è semplice
Se hai dubbi scrivi. Ciao.
purtroppo ho postato male l'esercizio al primo termine la frazione è $n/(sqrt(n+1))$ comunque svolgendo questo come hai iniziato tu, avrò:
$\lim_{n \to \infty}(sqrt(n+1/n)/(1+1/n^2)-sqrt(n)+1/sqrt(n))$
se prosegue mi da una forma indeterminata
$infty - infty + 0$
$\lim_{n \to \infty}(sqrt(n+1/n)/(1+1/n^2)-sqrt(n)+1/sqrt(n))$
se prosegue mi da una forma indeterminata
$infty - infty + 0$
Invece no, il primo termine tende a $sqrt(n)$ che semplificato con il secondo mi da $0$
Ma anche applicando la modifica al tuo esercizio (errore di svista al primo termine) esce comunque $0$, prova a fare i calcoli, sono identici, prima razionalizzi, poi metti in evidenza $n$ e poi ottieni qualcosa di simile. Ho già provveduto a svolgere l'esercizio, ma adesso tocca a te.
Ciao.
Ciao.
semplificare il primo ed il secondo membro perchè entrambi tendono a $sqrt(n)$ , non capisco perchè non l' ho fatto...
Grazie mille
Grazie mille
"v.tondi":
Invece no, il primo termine tende a $sqrt(n)$ che semplificato con il secondo mi da $0$
Insomma il risultato di un limite dipende dalla variabile di limite?
Fammi capire bene, allora per te è [tex]$\lim_{n\to +\infty} n+\frac{1}{n}=n$[/tex]?
Io ho sempre creduto che [tex]$\lim_{n\to +\infty} n+\frac{1}{n}=+\infty$[/tex]...
Per favore v.tondi, se vuoi dare dei consigli assicurati di non darli sbagliati; altrimenti incasini gli utenti meno preparati in Analisi.
Allora caro Gugo, quale sarebbe il risultato????
Hai ragione, scusa scusa. Mi capisci dopo un'intera giornata di lezioni private a ragazzi? Spero di si, ma il procedimento è quello comunque.
Non contesto il risultato.
Contesto il metodo scorretto.
Anche se non descrivo per filo e per segno un limite di successione da un po' (quindi sono un po' arruginito...), credo che una spiegazione più decente possa essere la seguente.
Messo il termine generale della successione nella forma (suppongo sia corretta, anche perchè non sono riuscito a capire qual è il testo dell'esercizio...):
[tex]\frac{\sqrt{n+\frac{1}{n}}}{1+\frac{1}{n^2}} -\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex]
con qualche passaggio ci si può ricondurre a:
[tex]\sqrt{n} \cdot \left\{ \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{1+\frac{1}{n^2}} -1 +\frac{1}{n}\right\}[/tex]
Messo in quest'ultima forma il termine generale, il limite dell'esercizio si presenta nella forma indeterminata [tex]\infty \cdot 0[/tex] che si può ricondurre ad una forma del tipo [tex]\frac{0}{0}[/tex] semplicemente "portando al denominatore" quel fattore[tex]\sqrt{n}[/tex], ossia scrivendo il termine generale come:
(*) [tex]\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{n}}} \cdot \left\{ \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{1+\frac{1}{n^2}} -1 +\frac{1}{n}\right\}[/tex]
Per sciogliere la forma indeterminata, allora, basta determinare di che ordine sono gli infinitesimi al numeratore ed al denominatore di (*).
Il denominatore di (*), [tex]\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex], è un infinitesimo d'ordine [tex]\frac{1}{2}[/tex].
Per stabilire l'ordine del numeratore di (*) "derazionalizziamo" la radice che figura al primo addendo e prendiamo un denominatore comune parziale:
[tex]\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{1+\frac{1}{n^2}} -1 +\frac{1}{n} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} -1 +\frac{1}{n}[/tex]
[tex]= \frac{1-\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} +\frac{1}{n}[/tex];
ricordando il limite fondamentale [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}$[/tex] e facendovi [tex]x=\frac{1}{n^2}[/tex], vediamo che c'è una forte somiglianza col primo addendo dell'ultimo membro della precedente: in tal modo pare una cosa buona e giusta scrivere:
[tex]\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{1+\frac{1}{n^2}} -1 +\frac{1}{n} =\frac{1-\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{\frac{1}{n^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}[/tex];
ora analizziamo i due addendi della somma che figura al secondo membro:
- l'addendo [tex]\frac{1}{n}[/tex] è un infinitesimo d'ordine [tex]1[/tex] per [tex]n\to +\infty[/tex];
- l'addendo [tex]\frac{1-\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{\frac{1}{n^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} \frac{1}{n^2}[/tex] è un infinitesimo d'ordine [tex]2[/tex] per [tex]n\to +\infty[/tex] (si ricodi il già citato limite notevole);
quindi, per le usuali regole per la determinazione dell'ordine d'infinitesimo d'una somma, il numeratore di (*), [tex]\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{1+\frac{1}{n^2}} -1 +\frac{1}{n}[/tex], è un infinitesimo d'ordine [tex]1[/tex].
Pertanto il limite assegnato, messo in forma opportuna, si presenta come rapporto di un numeratore infinitesimo d'ordine [tex]1[/tex] e di un denominatore infinitesimo d'ordine [tex]\frac{1}{2}[/tex]: ne consegue, per le solite regole di calcolo per la determinazione dell'ordine d'infinitesimo/infinito di un rapporto, che:
[tex]$\lim_{n\to +\infty} \frac{\sqrt{n+\frac{1}{n}}}{1+\frac{1}{n^2}} -\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}=0$[/tex]
e che l'infinitesimo è d'ordine [tex]\frac{1}{2}[/tex].
Però probabilmente si può fare un ragionamento più fine e breve giocando con le serie di Taylor...
Contesto il metodo scorretto.
Anche se non descrivo per filo e per segno un limite di successione da un po' (quindi sono un po' arruginito...), credo che una spiegazione più decente possa essere la seguente.
Messo il termine generale della successione nella forma (suppongo sia corretta, anche perchè non sono riuscito a capire qual è il testo dell'esercizio...):
[tex]\frac{\sqrt{n+\frac{1}{n}}}{1+\frac{1}{n^2}} -\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex]
con qualche passaggio ci si può ricondurre a:
[tex]\sqrt{n} \cdot \left\{ \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{1+\frac{1}{n^2}} -1 +\frac{1}{n}\right\}[/tex]
Messo in quest'ultima forma il termine generale, il limite dell'esercizio si presenta nella forma indeterminata [tex]\infty \cdot 0[/tex] che si può ricondurre ad una forma del tipo [tex]\frac{0}{0}[/tex] semplicemente "portando al denominatore" quel fattore[tex]\sqrt{n}[/tex], ossia scrivendo il termine generale come:
(*) [tex]\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{n}}} \cdot \left\{ \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{1+\frac{1}{n^2}} -1 +\frac{1}{n}\right\}[/tex]
Per sciogliere la forma indeterminata, allora, basta determinare di che ordine sono gli infinitesimi al numeratore ed al denominatore di (*).
Il denominatore di (*), [tex]\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex], è un infinitesimo d'ordine [tex]\frac{1}{2}[/tex].
Per stabilire l'ordine del numeratore di (*) "derazionalizziamo" la radice che figura al primo addendo e prendiamo un denominatore comune parziale:
[tex]\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{1+\frac{1}{n^2}} -1 +\frac{1}{n} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} -1 +\frac{1}{n}[/tex]
[tex]= \frac{1-\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} +\frac{1}{n}[/tex];
ricordando il limite fondamentale [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}$[/tex] e facendovi [tex]x=\frac{1}{n^2}[/tex], vediamo che c'è una forte somiglianza col primo addendo dell'ultimo membro della precedente: in tal modo pare una cosa buona e giusta scrivere:
[tex]\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{1+\frac{1}{n^2}} -1 +\frac{1}{n} =\frac{1-\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{\frac{1}{n^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}[/tex];
ora analizziamo i due addendi della somma che figura al secondo membro:
- l'addendo [tex]\frac{1}{n}[/tex] è un infinitesimo d'ordine [tex]1[/tex] per [tex]n\to +\infty[/tex];
- l'addendo [tex]\frac{1-\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{\frac{1}{n^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} \frac{1}{n^2}[/tex] è un infinitesimo d'ordine [tex]2[/tex] per [tex]n\to +\infty[/tex] (si ricodi il già citato limite notevole);
quindi, per le usuali regole per la determinazione dell'ordine d'infinitesimo d'una somma, il numeratore di (*), [tex]\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{1+\frac{1}{n^2}} -1 +\frac{1}{n}[/tex], è un infinitesimo d'ordine [tex]1[/tex].
Pertanto il limite assegnato, messo in forma opportuna, si presenta come rapporto di un numeratore infinitesimo d'ordine [tex]1[/tex] e di un denominatore infinitesimo d'ordine [tex]\frac{1}{2}[/tex]: ne consegue, per le solite regole di calcolo per la determinazione dell'ordine d'infinitesimo/infinito di un rapporto, che:
[tex]$\lim_{n\to +\infty} \frac{\sqrt{n+\frac{1}{n}}}{1+\frac{1}{n^2}} -\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}=0$[/tex]
e che l'infinitesimo è d'ordine [tex]\frac{1}{2}[/tex].
Però probabilmente si può fare un ragionamento più fine e breve giocando con le serie di Taylor...
Invece di allungare, non si sarebbe potuta risolvere la forma indeterminata infinito - infinito razionalizzando il numeratore, io ho sempre fatto in questo modo alle scuole superiori. Cioè $(sqrt(n)-sqrt(n))*(sqrt(n)+sqrt(n))/(sqrt(n)+sqrt(n))$?
Ciao.
Ciao.
Purtroppo ho giocato con l'handicap: non ho capito minimamente quale sia il testo originario dell'esercizio. 
Per questo sono partito dal limite scritto qui e poi sono andato avanti.
L'ho detto, forse ci sono strade più brevi...
Però:
Cioè parti da [tex]0[/tex]([tex]=\sqrt{n}-\sqrt{n}[/tex])?
Per questo sono partito dal limite scritto qui e poi sono andato avanti.
L'ho detto, forse ci sono strade più brevi...
Però:
"v.tondi":
Cioè $(sqrt(n)-sqrt(n))*(sqrt(n)+sqrt(n))/(sqrt(n)+sqrt(n))$?
Cioè parti da [tex]0[/tex]([tex]=\sqrt{n}-\sqrt{n}[/tex])?
Si parto da quel punto e poi continuo razionalizzando il numeratore ottenendo infine $0$. Prova a partire dal limite sviluppato dopo vari passaggi (1° messaggio v.tondi).
Ciao.
Ciao.
Se parti da zero, parti già da una forma determinatissima e non hai bisogno di fare passaggi...
Per farti capire con un esempio, secondo te il [tex]$\lim_{n\to +\infty} n-n$[/tex] si presenta in forma indeterminata?
Per farti capire con un esempio, secondo te il [tex]$\lim_{n\to +\infty} n-n$[/tex] si presenta in forma indeterminata?
Purtroppo Gugo, di ordine di infinitesimi non ne ho mai sentito niente, e neanche delle serie di Taylor.
Posso chiederti perchè è sbagliato il ragionamento di v.tondi per cui i due limiti che tendono a $sqrt(n)$ si annullano ?
Posso chiederti perchè è sbagliato il ragionamento di v.tondi per cui i due limiti che tendono a $sqrt(n)$ si annullano ?
"valerio100":
Posso chiederti perchè è sbagliato il ragionamento di v.tondi per cui i due limiti che tendono a $sqrt(n)$ si annullano ?
Il principale motivo per cui il ragionamento di v.tondi è sbagliato è che quei limiti non "tendono a [tex]\sqrt{n}[/tex]": quei limiti sono [tex]+\infty[/tex].
Per ovviare a questo inconveniente* si introducono gli ordini d'infinitesimo ed il concetto di infinitesimi (asintoticamente) equivalenti (se stai seguendo Analisi I dovresti sentirne parlare presto... Spero.).
Il ragionamento di v.tondi va allora espresso in maniera più corretta usando questi due strumenti; altrimenti si corre il rischio di essere cacciati a pedate da ogni professore serio di Analisi.
Poi un favore: hai letto (credo) che non ho capito quale sia il testo originale dell'esercizio.
Potresti postarlo? Grazie.
__________
* Fondamentalmente è un problema di linguaggio, dato che abbiamo capito cosa cerca di dire v.tondi.
Mi trovi d'accordo infatti quando l'ho letto la prima volta mi è suonato un tantino superficiale come motivazione, anche se in fondo il concetto espresso poteva essere esatto, il testo corretto è :
$\lim_{n \to \infty}(n/(sqrt(n+1))-(n+1)/(sqrt(n)))$
PS mi puoi consigliare un qualcosa che mi faciliti la scrittura delle formule ?
$\lim_{n \to \infty}(n/(sqrt(n+1))-(n+1)/(sqrt(n)))$
PS mi puoi consigliare un qualcosa che mi faciliti la scrittura delle formule ?
Avrò sbagliato a dire che "tende" a $sqrt(n)$, volevo intendere semplificando i calcoli, rimaneva $sqrt(n)-sqrt(n)$ che semplificata mi fa ottenere $0$. No non è una forma indeterminata quella che hai scritto te.
Come avresti risolto Gugo il limite che ha scritto nell'ultimo messaggio Valerio100 (si tratta dell'esercizio giusto)?
si si, l'esercizio è corretto
"valerio100":
Mi trovi d'accordo infatti quando l'ho letto la prima volta mi è suonato un tantino superficiale come motivazione, anche se in fondo il concetto espresso poteva essere esatto, il testo corretto è :
$\lim_{n \to \infty}(n/(sqrt(n+1))-(n+1)/(sqrt(n)))$
Allora visto che i numeratori sono simili possiamo riscrivere:
[tex]$\frac{n}{\sqrt{n+1}} -\frac{n+1}{\sqrt{n}} = n\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} -\frac{1}{\sqrt{n}}\right) -\frac{1}{\sqrt{n}}$[/tex]
in cui al secondo membro l'ultimo addendo è infinitesimo ed il primo è in forma indeterminata [tex]\infty \cdot 0[/tex].
Per sciogliere la forma indeterminata, operiamo un po' nella parentesi: abbiamo ("derazionalizzando" e mettendo un po' in evidenza):
[tex]$\frac{1}{\sqrt{n+1}} -\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}$[/tex]
[tex]$=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}}$[/tex]
[tex]$=\frac{-1}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}} (\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}$[/tex]
[tex]$=\frac{-1}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}} \sqrt{n}(1+\sqrt{1+\frac{1}{n}})}$[/tex]
[tex]$=\frac{-1}{n^\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}(1+\sqrt{1+\frac{1}{n}})}$[/tex]
quindi:
[tex]$n\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} -\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\frac{-n}{n^\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}(1+\sqrt{1+\frac{1}{n}})}$[/tex]
[tex]$=\frac{-1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}(1+\sqrt{1+\frac{1}{n}})}$[/tex].
Mettendo tutto insieme si trova:
[tex]$\lim_{n} \frac{n}{\sqrt{n+1}}-\frac{n+1}{\sqrt{n}} =\lim_{n} \frac{-1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}(1+\sqrt{1+\frac{1}{n}})} -\frac{1}{\sqrt{n}}=\lim_n -\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}(1+\sqrt{1+\frac{1}{n}})} +1\right) =0\cdot \frac{3}{2}=0$[/tex].
"valerio100":
PS mi puoi consigliare un qualcosa che mi faciliti la scrittura delle formule ?
Purtroppo non c'è modo più semplice di MathML (TeX è più complicato); tutto sta nel fare un po' di esperienza, poi le scrivi facile.
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