Soluzione limitata "Equazione Differenziale"
Salve ragazzi vi posto il seguente problema .
Considerando l'equazione differenziale $y''-y'-6y=3e^(-2x)+sen2x$
trovare una soluzione limitata tale che $y(0)=3$.
Vorrei chiedere il significato della traccia ?
io ho provato il seguente ragionamento, dopo essermi calcolato la soluzione dell'omogenea associata ( $y=e^(3x)*c_1+e^(-2x)*c_2$ )
ho pensato di sostituire alla $x$ il numero 0 e di uguagliare il tutto a 3.
Ma così facendo ottengo $c_1+c_2=3$ e ho dei dubbi.
E' esatto cio che ho fatto ?
Considerando l'equazione differenziale $y''-y'-6y=3e^(-2x)+sen2x$
trovare una soluzione limitata tale che $y(0)=3$.
Vorrei chiedere il significato della traccia ?
io ho provato il seguente ragionamento, dopo essermi calcolato la soluzione dell'omogenea associata ( $y=e^(3x)*c_1+e^(-2x)*c_2$ )
ho pensato di sostituire alla $x$ il numero 0 e di uguagliare il tutto a 3.
Ma così facendo ottengo $c_1+c_2=3$ e ho dei dubbi.
E' esatto cio che ho fatto ?
Risposte
No quello che hai fatto è sbagliato. Le soluzioni dell'eq.omogenea associata, infatti, non sono soluzioni dell'equazione data. La traccia richiede espressamente una soluzione dell'equazione completa. Ti conviene trovarne l'integrale generale e poi di riflettere su questo. Puoi usare il metodo della variazione delle costanti oppure quello "di somiglianza".
"dissonance":
No quello che hai fatto è sbagliato. Le soluzioni dell'eq.omogenea associata, infatti, non sono soluzioni dell'equazione data. La traccia richiede espressamente una soluzione dell'equazione completa. Ti conviene trovarne l'integrale generale e poi di riflettere su questo. Puoi usare il metodo della variazione delle costanti oppure quello "di somiglianza".
Io avevo fatto così perchè l'esercizio era sviluppato per punti e questo era il secondo punto.
Il primo era di trovare le soluzioni dell'omogenea e solo nel quarto e ultimo punto mi chiede di scrivere l'integrale generale.
Comunque io come soluzione generale ottengo : $y=e^(3x)*c_1+e^(-2x)c_2-3x*e^(-2x)/5+(cos2x-5sen2x)/52$
ora devo sostituire $x=0$ e $y=3$ in questa equazione ?
per determinare $c_1$ e $c_2$ non me ne occorre un'altra ?
Infatti con le sole condizioni che stai imponendo non trovi un'unica soluzione. Ma c'è un'altra richiesta nella traccia, della quale ti sei dimenticato nell'ultimo post.
"dissonance":
Infatti con le sole condizioni che stai imponendo non trovi un'unica soluzione. Ma c'è un'altra richiesta nella traccia, della quale ti sei dimenticato nell'ultimo post.
Ho dimenticato che le soluzioni devono essere limitate ?
e scusa ma nn riesco a capire quale altra equazione devo considerare
"frenky46":Esatto. Imponendo $y(0)=3$ ottieni una condizione su $c_1$. Sostituendo $c_1$ trovi una famiglia di funzioni dipendente dal parametro $c_2$: di tutte queste funzioni solo una sarà limitata, ed è quella che devi scegliere.
Ho dimenticato che le soluzioni devono essere limitate ?
Imponendo $y(0)=3$ ottengo $c_1= 3-1/52-c_2$ corretto?
Ora non ho capito come scegliere la soluzione limitata.
Ora non ho capito come scegliere la soluzione limitata.
non riesco a capire, quale sarebbe la mia soluzione limitata ?
Hai risolto $c_1$, sostituiscilo nell'espressione dell'integrale generale e ti verrà fuori una famiglia di funzioni dipendenti dal parametro $c_2$. Questo conto lo hai fatto? A questo punto devi ragionare per capire quale valore assegnare a $c_2$ in modo tale che la soluzione sia limitata.
@frenky46: Su, prova a ragionare... Se non viene usato il cervello si atrofizza. 
Hai detto:
La famiglia di soluzioni dell'equazione [tex]$y^{\prime \prime}-y^\prime -6y=3e^{-2x} +\sin 2x$[/tex] i cui grafici passano per il punto [tex]$(0,3)$[/tex] si ottiene dall'integrale generale [tex]$y(x):=c_1\ e^{3x}+c_2\ e^{-2x} -\frac{3}{5}x\ e^{-2x} +\frac{\cos 2x-5\sin 2x}{52}$[/tex] scegliendo [tex]$c_1=3-\frac{1}{52}-c_2 =\frac{155}{52} -c_2$[/tex],
e fin qui tutto esatto (a parte errori di conto che non ho verificato, perchè risolvere la EDO prenderebbe troppo tempo).
Ora, come tu stesso hai suggerito, vai a sostituire la tua [tex]$c_1$[/tex] nell'integrale ed ottieni:
[tex]$y(x):=\left(\frac{155}{52}-c_2 \right)\ e^{3x} +c_2\ e^{-2x} -\frac{3}{5}x\ e^{-2x} +\frac{\cos 2x-5\sin 2x}{52}$[/tex]
che è l'equazione della famiglia delle soluzioni che ti interessano; da questa devi vedere se è possibile, scegliendo bene il valore della costante [tex]$c_2$[/tex], trovare una funzione limitata.
Ora ragioniamo un po'.
Visto che ogni funzione della famiglia è continua in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex], è evidente che eventuali problemi di non limitatezza li riscontri solo per [tex]$x\to \pm \infty$[/tex] (per il teorema di Weierstrass); ma per [tex]$x\to +\infty$[/tex] l'addendo [tex]$\frac{\cos 2x-5\sin 2x}{52}$[/tex] è limitato (assume valori compresi, alla peggio, tra [tex]$-\tfrac{3}{26}$[/tex] e [tex]$\tfrac{3}{26}$[/tex]), quindi i problemi, se ci sono, provengono tutti dall'addendo [tex]$\left( \frac{155}{52}-c_2 \right)\ e^{3x} +c_2\ e^{-2x} -\frac{3}{5}x\ e^{-2x}$[/tex]: pertanto, per risolvere il problema occorre e basta stabilire se esiste qualche valore della costante [tex]$c_2$[/tex] tale che la funzione [tex]$\left( \frac{155}{52}-c_2 \right)\ e^{3x} +c_2\ e^{-2x} -\frac{3}{5}x\ e^{-2x}$[/tex] non "esploda" quando [tex]$x\to \pm \infty$[/tex].
Allora potresti pensare di distinguere i casi [tex]$c_2=0$[/tex], [tex]$c_2>0$[/tex] e [tex]$c_2<0$[/tex] e di andare a vedere come si comporta l'addendo [tex]$\left( \frac{155}{52}-c_2 \right)\ e^{3x} +c_2\ e^{-2x} -\frac{3}{5}x\ e^{-2x}$[/tex] quando lo passi al limite per [tex]$x\to+\infty$[/tex] ed [tex]$x\to -\infty$[/tex]: se, distinguendo i casi, ti accorgi che almeno uno dei due limiti è sempre [tex]$\pm \infty$[/tex], allora l'esercizio non ha soluzione; se, invece, c'è qualche valore di [tex]$c_2$[/tex] privilegiato per cui quei limiti (pur non esistendo) non "esplodono", allora per tali valori di [tex]$c_2$[/tex] ottieni le soluzioni del tuo problema.
Questa è proprio la cosa più brutale che puoi fare, espressa in maniera rozzissima... Però è quasi sempre efficace.
*** EDIT: Scusa la sovrapposizione dissonance. Scrivevamo contemporaneamente.
Hai detto:
La famiglia di soluzioni dell'equazione [tex]$y^{\prime \prime}-y^\prime -6y=3e^{-2x} +\sin 2x$[/tex] i cui grafici passano per il punto [tex]$(0,3)$[/tex] si ottiene dall'integrale generale [tex]$y(x):=c_1\ e^{3x}+c_2\ e^{-2x} -\frac{3}{5}x\ e^{-2x} +\frac{\cos 2x-5\sin 2x}{52}$[/tex] scegliendo [tex]$c_1=3-\frac{1}{52}-c_2 =\frac{155}{52} -c_2$[/tex],
e fin qui tutto esatto (a parte errori di conto che non ho verificato, perchè risolvere la EDO prenderebbe troppo tempo).
Ora, come tu stesso hai suggerito, vai a sostituire la tua [tex]$c_1$[/tex] nell'integrale ed ottieni:
[tex]$y(x):=\left(\frac{155}{52}-c_2 \right)\ e^{3x} +c_2\ e^{-2x} -\frac{3}{5}x\ e^{-2x} +\frac{\cos 2x-5\sin 2x}{52}$[/tex]
che è l'equazione della famiglia delle soluzioni che ti interessano; da questa devi vedere se è possibile, scegliendo bene il valore della costante [tex]$c_2$[/tex], trovare una funzione limitata.
Ora ragioniamo un po'.
Visto che ogni funzione della famiglia è continua in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex], è evidente che eventuali problemi di non limitatezza li riscontri solo per [tex]$x\to \pm \infty$[/tex] (per il teorema di Weierstrass); ma per [tex]$x\to +\infty$[/tex] l'addendo [tex]$\frac{\cos 2x-5\sin 2x}{52}$[/tex] è limitato (assume valori compresi, alla peggio, tra [tex]$-\tfrac{3}{26}$[/tex] e [tex]$\tfrac{3}{26}$[/tex]), quindi i problemi, se ci sono, provengono tutti dall'addendo [tex]$\left( \frac{155}{52}-c_2 \right)\ e^{3x} +c_2\ e^{-2x} -\frac{3}{5}x\ e^{-2x}$[/tex]: pertanto, per risolvere il problema occorre e basta stabilire se esiste qualche valore della costante [tex]$c_2$[/tex] tale che la funzione [tex]$\left( \frac{155}{52}-c_2 \right)\ e^{3x} +c_2\ e^{-2x} -\frac{3}{5}x\ e^{-2x}$[/tex] non "esploda" quando [tex]$x\to \pm \infty$[/tex].
Allora potresti pensare di distinguere i casi [tex]$c_2=0$[/tex], [tex]$c_2>0$[/tex] e [tex]$c_2<0$[/tex] e di andare a vedere come si comporta l'addendo [tex]$\left( \frac{155}{52}-c_2 \right)\ e^{3x} +c_2\ e^{-2x} -\frac{3}{5}x\ e^{-2x}$[/tex] quando lo passi al limite per [tex]$x\to+\infty$[/tex] ed [tex]$x\to -\infty$[/tex]: se, distinguendo i casi, ti accorgi che almeno uno dei due limiti è sempre [tex]$\pm \infty$[/tex], allora l'esercizio non ha soluzione; se, invece, c'è qualche valore di [tex]$c_2$[/tex] privilegiato per cui quei limiti (pur non esistendo) non "esplodono", allora per tali valori di [tex]$c_2$[/tex] ottieni le soluzioni del tuo problema.
Questa è proprio la cosa più brutale che puoi fare, espressa in maniera rozzissima... Però è quasi sempre efficace.
*** EDIT: Scusa la sovrapposizione dissonance. Scrivevamo contemporaneamente.
"gugo82":
@frenky46: Su, prova a ragionare... Se non viene usato il cervello si atrofizza.
Hai detto:
La famiglia di soluzioni dell'equazione [tex]$y^{\prime \prime}-y^\prime -6y=3e^{-2x} +\sin 2x$[/tex] i cui grafici passano per il punto [tex]$(0,3)$[/tex] si ottiene dall'integrale generale [tex]$y(x):=c_1\ e^{3x}+c_2\ e^{-2x} -\frac{3}{5}x\ e^{-2x} +\frac{\cos 2x-5\sin 2x}{52}$[/tex] scegliendo [tex]$c_1=3-\frac{1}{52}-c_2 =\frac{155}{52} -c_2$[/tex],
e fin qui tutto esatto (a parte errori di conto che non ho verificato, perchè risolvere la EDO prenderebbe troppo tempo).
Ora, come tu stesso hai suggerito, vai a sostituire la tua [tex]$c_1$[/tex] nell'integrale ed ottieni:
[tex]$y(x):=\left(\frac{155}{52}-c_2 \right)\ e^{3x} +c_2\ e^{-2x} -\frac{3}{5}x\ e^{-2x} +\frac{\cos 2x-5\sin 2x}{52}$[/tex]
che è l'equazione della famiglia delle soluzioni che ti interessano; da questa devi vedere se è possibile, scegliendo bene il valore della costante [tex]$c_2$[/tex], trovare una funzione limitata.
Ora ragioniamo un po'.
Visto che ogni funzione della famiglia è continua in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex], è evidente che eventuali problemi di non limitatezza li riscontri solo per [tex]$x\to \pm \infty$[/tex] (per il teorema di Weierstrass); ma per [tex]$x\to +\infty$[/tex] l'addendo [tex]$\frac{\cos 2x-5\sin 2x}{52}$[/tex] è limitato (assume valori compresi, alla peggio, tra [tex]$-\tfrac{3}{26}$[/tex] e [tex]$\tfrac{3}{26}$[/tex]), quindi i problemi, se ci sono, provengono tutti dall'addendo [tex]$\left( \frac{155}{52}-c_2 \right)\ e^{3x} +c_2\ e^{-2x} -\frac{3}{5}x\ e^{-2x}$[/tex]: pertanto, per risolvere il problema occorre e basta stabilire se esiste qualche valore della costante [tex]$c_2$[/tex] tale che la funzione [tex]$\left( \frac{155}{52}-c_2 \right)\ e^{3x} +c_2\ e^{-2x} -\frac{3}{5}x\ e^{-2x}$[/tex] non "esploda" quando [tex]$x\to \pm \infty$[/tex].
Allora potresti pensare di distinguere i casi [tex]$c_2=0$[/tex], [tex]$c_2>0$[/tex] e [tex]$c_2<0$[/tex] e di andare a vedere come si comporta l'addendo [tex]$\left( \frac{155}{52}-c_2 \right)\ e^{3x} +c_2\ e^{-2x} -\frac{3}{5}x\ e^{-2x}$[/tex] quando lo passi al limite per [tex]$x\to+\infty$[/tex] ed [tex]$x\to -\infty$[/tex]: se, distinguendo i casi, ti accorgi che almeno uno dei due limiti è sempre [tex]$\pm \infty$[/tex], allora l'esercizio non ha soluzione; se, invece, c'è qualche valore di [tex]$c_2$[/tex] privilegiato per cui quei limiti (pur non esistendo) non "esplodono", allora per tali valori di [tex]$c_2$[/tex] ottieni le soluzioni del tuo problema.
Questa è proprio la cosa più brutale che puoi fare, espressa in maniera rozzissima... Però è quasi sempre efficace.
*** EDIT: Scusa la sovrapposizione dissonance. Scrivevamo contemporaneamente.
Ok ho provato a seguire il tuo ragionamento e credo di averlo capito.
Ora però distinguendo i tre casi ho :
- $c_2=0$ $=>$ $y=(155)/(52)*e^3x$ che per $x->infty$ tente ancora a $infty$
- e per gli altri due casi ovvero quando $c_2<0$ e $c_2>0$ ottango sempre che la funzione "esplode" ad infinito.
Quindi come faccio ?
Quindi il tuo problema non ha soluzione.
Al massimo ricontrolla i calcoli; se sono fatti bene, il risultato è questo.
Se, invece, avessimo cercato funzioni limitate nell'intervallo [tex]$]e^{128 \sqrt{\pi}} ,+\infty[$[/tex], ne avremmo trovata qualcuna?
E di soluzioni limitate in [tex]$]-\infty , -\pi^\frac{\sqrt{2}}{e}[$[/tex] ne esistono?
Al massimo ricontrolla i calcoli; se sono fatti bene, il risultato è questo.
Se, invece, avessimo cercato funzioni limitate nell'intervallo [tex]$]e^{128 \sqrt{\pi}} ,+\infty[$[/tex], ne avremmo trovata qualcuna?
E di soluzioni limitate in [tex]$]-\infty , -\pi^\frac{\sqrt{2}}{e}[$[/tex] ne esistono?
"gugo82":
Quindi il tuo problema non ha soluzione.
Al massimo ricontrolla i calcoli; se sono fatti bene, il risultato è questo.
Ho provato a ricontrollare i calcoli ma ottengo sempre la stessa cosa e anche in un altro esercizio simile ottengo lo stesso risultato.
L'altro esercizio che ho fatto era :
$y''-y'-6y=2e^(-2x)+sen(2x)$
e mi chiede di trovare le soluzioni limitate tali che $y(0)=2$
la soluzione che trovo è $y=c_1*e^(3x)+c_2+e^(-2x)-(2x)/5*e^(-2x)-1/(52)*(5sen(2x)-51cos(2x))$
ora facendo lo stesso ragiomanto di prima ho $c_1=155/52-c_2$
e sostituendo nella $y$ e distinguendo i vari casi di $c_2$ ottengo sempre che la funzione tende a $infty$
possibile che entrambi i problemi che ho fatto non abbiano soluzione ? sono esercizi d'esame mi sembra un po strano.
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