Soluzione integrale (3x)/(x^3-1)

[Rameses]

Buonasera, stavo risolvendo il seguente integrale

$ int(3x)/(x^3-1) $

Dopo aver scomposto tramite Ruffini il denominatore e dopo aver sfruttato i fratti semplici, i cui valori per A, B e C sono rispettivamente 1, -1, 1, ho ottenuto

$ int(1)/(x-1)+int(-x+1)/(x^2+x+1) $

Ora, il primo è un integrale immediato mentre nel secondo, sapendo che la derivata del denominatore è 2x+1, avevo pensato di scomporlo in:

$ -int(x-1)/(x^2+x+1)= -1/2int(2x+1-2)/(x^2+x+1) $

Da cui ricavo:

$ -1/2(int(2x+1)/(x^2+x+1)-2int(1)/(x^2+x+1)) $

Anche in questo caso il primo integrale è immediato, ma è a causa del secondo che nasce la mia domanda..come lo si scompone?
Grazie mille per la risposta,
Rameses

[AnalisiZero]

Se non sbaglio nel caso in cui ti trovi devi ricondurre quella frazione a una del tipo $1/(1+(f(x))^2)$.
Cioè devi arrivare a una derivata dell'arcotangente.

[M.C.D.1]

"Rameses":Buonasera, stavo risolvendo il seguente integrale

$ int(3x)/(x^3-1) $

Dopo aver scomposto tramite Ruffini il denominatore e dopo aver sfruttato i fratti semplici, i cui valori per A, B e C sono rispettivamente 1, -1, 1, ho ottenuto

$ int(1)/(x-1)+int(-x+1)/(x^2+x+1) $

Ora, il primo è un integrale immediato mentre nel secondo, sapendo che la derivata del denominatore è 2x+1, avevo pensato di scomporlo in:

$ -int(x-1)/(x^2+x+1)= -1/2int(2x+1-2)/(x^2+x+1) $

Da cui ricavo:

$ -1/2(int(2x+1)/(x^2+x+1)-2int(1)/(x^2+x+1)) $

Anche in questo caso il primo integrale è immediato, ma è a causa del secondo che nasce la mia domanda..come lo si scompone?
Grazie mille per la risposta,
Rameses

Non c'era bisogno di scomodare Ruffini
Al denominatore hai una differenza di cubi

Ad ogni modo l'ultimo integrale si risolve attraverso il completamento del quadrato:

$int(1)/(x^2+x+1)dx = int(1)/(x^2+x+1+1/4-1/4)dx = int(1)/((x+1/2)^2+3/4)dx$

Metto $3/4$ in evidenza al denominatore:

$int(1)/(3/4[(x+1/2)^2/(3/4)+1])dx = 4/3 int(1)/((x+1/2)^2/(3/4)+1)dx = 4/3 int(1)/(((x+1/2)/(sqrt(3)/2))^2+1)dx$
Con qualche semplice passaggio algebrico:

$((x+1/2)/(sqrt(3)/2))^2 = ((2x+1)/sqrt(3))^2$

Per cui:

$4/3 int(1)/(((2x+1)/(sqrt(3)))^2+1)dx$

L'obiettivo è usare il seguente integrale notevole:

$int (f'(x))/(f^2(x)+1) dx = arctgf(x) +C$
Quindi adesso mi manca solo la derivata della mia $f(x)$ al numeratore, la mia $f(x) = (2x+1)/sqrt(3)$ la cui derivata prima è: $2/sqrt(3)$
moltiplico e divido per questa quantità al numeratore ed il gioco è fatto

$4/3 int(1)/(((2x+1)/(sqrt(3)))^2+1)dx = 4/3*sqrt(3)/2 int(2/sqrt(3))/(((2x+1)/(sqrt(3)))^2+1)dx = 2/sqrt(3)* arctg((2x+1)/sqrt(3))$

[Rameses]

Ragazzi di matematicamente, io vi amo
Saluti,
Rameses.