Soluzione globale di un'equazione differenziale

[liberatorimatteo]

Buonasera non riesco a svolgere tale esercizio:

Sia $\alpha(t)$ una funzione continua da $\mathbb(R)$ in $\mathbb(R)$ tale che $\alpha(t)≥1/4 forall t ∈ \mathbb(R)$. Provare che l’equazione differenziale $y'(t)=(\alpha(t))/cos(y(t))$ non ha soluzioni su tutto $\mathbb(R)$. Vale lo stesso se invece $\alpha(t)$ è una funzione continua da $\mathbb(R)$ in $\mathbb(R)$ tale che $\alpha(t)≥(1/(1+t^2))^(\pi/70) forall t ∈ \mathbb(R)$?

MIA SOLUZIONE
Non ho una vera e propria soluzione... diciamo che ho una mezza idea. Quell'equazione differenziale è a variabili separabili perciò risolvendola ottengo

$sin(y(t))=\int\alpha(t)dt+c$

Affinché $y(t)$ sia definita su tutto $mathbb(R)$ è necessario che $-1<=\int\alpha(t)dt+c<=1$ ma ora? Mi viene spontaneo scrivere $sin(y(t))=\int\alpha(t)dt+c>1/4t+c->+oo$ ma non mi sembra corretto... Non so...

[dissonance]

Ci sei quasi ma quel cacchio di simbolo di integrale indefinito ti fa confondere. Non lo usare mai.

Riparti da qui: se \(y\) è una soluzione, allora
\[
\frac{d}{dt}\Big[ \sin(y(t))\Big] >\frac14.\]
Supponi per assurdo che \(y\) sia definita su tutto \(\mathbb R\). Integra membro a membro questa disuguaglianza, USANDO L'INTEGRALE DEFINITO. E vedi che sbuca una contraddizione.