Soluzione generica di una ODE del 2° ordine
La soluzione generica per un'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea (la non omogeneità dipende solo da una costante)nel caso di radici coincidenti può essere la seguente:
$f(\tau)=b_0+b_1e^{-\lambda\tau)+b_2\tau\lambda e^{-\lambda \tau}$ ????
non dovrebbe essere:
$f(\tau)=b_0+b_1e^{-\lambda\tau)+b_2\tau e^{-\lambda \tau}$ ????
nel caso come è possibile risalire all'equazione dufferenziale nel 1° caso ???
$f(\tau)=b_0+b_1e^{-\lambda\tau)+b_2\tau\lambda e^{-\lambda \tau}$ ????
non dovrebbe essere:
$f(\tau)=b_0+b_1e^{-\lambda\tau)+b_2\tau e^{-\lambda \tau}$ ????
nel caso come è possibile risalire all'equazione dufferenziale nel 1° caso ???
Risposte
Non ho capito il tuo dubbio! 
La soluzione completa è la seconda che hai scritto; la prima funzione, ad esempio, ti crea problemi nel caso in cui [tex]$0$[/tex] è la radice doppia.
La soluzione completa è la seconda che hai scritto; la prima funzione, ad esempio, ti crea problemi nel caso in cui [tex]$0$[/tex] è la radice doppia.
il mio dubbio risiede nel fatto che ho come risultato la prima equazione che ho postato e mi viene detto che è la soluzione di un'equazione differenziale di secondo grado con radici coincidenti...
a me interessa risalire all'equazione differenziale di cui è soluzione solo che la generica equazione differenziale del 2° ordine ha come soluzione la seconda che ho postato come tu mi hai appena confermato quindi non saprei come procedere....
a me interessa risalire all'equazione differenziale di cui è soluzione solo che la generica equazione differenziale del 2° ordine ha come soluzione la seconda che ho postato come tu mi hai appena confermato quindi non saprei come procedere....
Fammi capire... Praticamente hai una EDO del tipo:
[tex]$y^{\prime \prime} +a\ y^\prime +b\ y= c$[/tex]
con [tex]$a,b,c$[/tex] costanti? Se sì, non vedo il problema se [tex]$\lambda \neq 0$[/tex].
Infatti se [tex]$\lambda\neq 0$[/tex] allora anche [tex]$a\neq 0$[/tex] e [tex]$b=\tfrac{a^2}{4} \neq 0$[/tex] (ricordo che le radici del polinomio caratteristico [tex]$\lambda^2+a\lambda +b$[/tex] sono doppie se e solo se [tex]$\Delta =a^2-4b =0$[/tex]; in tal caso [tex]$\lambda = -\tfrac{a}{2}$[/tex]), l'integrale generale è una cosa del tipo:
[tex]$f(t)=\frac{4c}{a^2} +C_1\ e^{-\frac{a}{2}\ t} +C_2\ t\ e^{-\frac{a}{2} t}$[/tex]
che puoi pure riscrivere:
[tex]$f(t)=\frac{4c}{a^2} +C_1\ e^{-\frac{a}{2}\ t} -K_2\ \frac{a}{2}\ t\ e^{-\frac{a}{2} t}$[/tex]
ove [tex]$K_2=C_2\ \frac{2}{a}$[/tex] è una nuova costante arbitraria.
Se invece [tex]$\lambda =0$[/tex] allora [tex]$a=b=0$[/tex], cosicché l'equazione è necessariamente ridotta a [tex]$y^{\prime \prime}=c$[/tex]; in tal caso l'integrale generale è del tipo:
[tex]$f(t) =\frac{c}{2}\ t^2+C_1+ C_2\ t$[/tex]
e questo è l'unico caso problematico (in quanto non si può introdurre la nuova costante come fatto più su)...
Insomma, nel testo ci potrebbe essere sia un errore di stampa sia una dimenticanza dell'ipotesi [tex]$\lambda\neq 0$[/tex].
[tex]$y^{\prime \prime} +a\ y^\prime +b\ y= c$[/tex]
con [tex]$a,b,c$[/tex] costanti? Se sì, non vedo il problema se [tex]$\lambda \neq 0$[/tex].
Infatti se [tex]$\lambda\neq 0$[/tex] allora anche [tex]$a\neq 0$[/tex] e [tex]$b=\tfrac{a^2}{4} \neq 0$[/tex] (ricordo che le radici del polinomio caratteristico [tex]$\lambda^2+a\lambda +b$[/tex] sono doppie se e solo se [tex]$\Delta =a^2-4b =0$[/tex]; in tal caso [tex]$\lambda = -\tfrac{a}{2}$[/tex]), l'integrale generale è una cosa del tipo:
[tex]$f(t)=\frac{4c}{a^2} +C_1\ e^{-\frac{a}{2}\ t} +C_2\ t\ e^{-\frac{a}{2} t}$[/tex]
che puoi pure riscrivere:
[tex]$f(t)=\frac{4c}{a^2} +C_1\ e^{-\frac{a}{2}\ t} -K_2\ \frac{a}{2}\ t\ e^{-\frac{a}{2} t}$[/tex]
ove [tex]$K_2=C_2\ \frac{2}{a}$[/tex] è una nuova costante arbitraria.
Se invece [tex]$\lambda =0$[/tex] allora [tex]$a=b=0$[/tex], cosicché l'equazione è necessariamente ridotta a [tex]$y^{\prime \prime}=c$[/tex]; in tal caso l'integrale generale è del tipo:
[tex]$f(t) =\frac{c}{2}\ t^2+C_1+ C_2\ t$[/tex]
e questo è l'unico caso problematico (in quanto non si può introdurre la nuova costante come fatto più su)...
Insomma, nel testo ci potrebbe essere sia un errore di stampa sia una dimenticanza dell'ipotesi [tex]$\lambda\neq 0$[/tex].
Grazie gugo82...
evidentemente è come dici tu...
probabilmente la soluzione standard era:
$\f(\tau)=b_0+b_1e^{-\lambda \tau}+b_2\taue^{-\lambda \tau}$
ponendo
$\overline{b_2}=\frac{b_2}{\lambda}$
si arriva a:
$\f(\tau)=b_0+b_1e^{-\lambda \tau}+\overline{b_2}\tau\lambda e^{-\lambda \tau}$
il problema è che poi questa soluzione deve essere integrata e solo partendo da quest'ultima forma ho il risultato corretto...partendo dall'altra mi manca proprio un $\lambda$ che moltiplica...
mi rimane oscuro il motivo per il quale abbiano fatto questa sostituzione però così sembrerebbe essere....
evidentemente è come dici tu...
probabilmente la soluzione standard era:
$\f(\tau)=b_0+b_1e^{-\lambda \tau}+b_2\taue^{-\lambda \tau}$
ponendo
$\overline{b_2}=\frac{b_2}{\lambda}$
si arriva a:
$\f(\tau)=b_0+b_1e^{-\lambda \tau}+\overline{b_2}\tau\lambda e^{-\lambda \tau}$
il problema è che poi questa soluzione deve essere integrata e solo partendo da quest'ultima forma ho il risultato corretto...partendo dall'altra mi manca proprio un $\lambda$ che moltiplica...
mi rimane oscuro il motivo per il quale abbiano fatto questa sostituzione però così sembrerebbe essere....
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