Soluzione generale \(\boldsymbol{y}'=A \boldsymbol{y}\)

[DavideGenova1]

Ciao, amici, volevo chiedere se è corretto ciò che mi sono figurato e annotato a matita a margine del libro, per non lasciarlo imbrattato di scemenze...
Data la nota formula \(\boldsymbol{y}(t)=e^{At}\boldsymbol{y}(0)\) risolutiva di un sistema di equazioni differenziali di tipo
\[\begin{cases}\boldsymbol{y}'=A \boldsymbol{y}\\\boldsymbol{y}(0)=\boldsymbol{y}_0\end{cases} \]
con \(A\in M_n(\mathbb{R})\), mi sembrerebbe che, se si ha invece il dato iniziale per un generico $t_0$ come in
\[\begin{cases}\boldsymbol{y}'=A \boldsymbol{y}\\\boldsymbol{y}(t_0)=\boldsymbol{y}_0\end{cases} \]
la formula risolutiva possa essere scritta come \(\boldsymbol{y}(t)=e^{A(t-t_0)}\boldsymbol{y}(t_0)=e^{At}e^{-At_0}\boldsymbol{y}(t_0)\).
Do i numeri?
Grazie di cuore a chi vorrà confermare o smentire!!!

[Raptorista1]

Premesso che non ho scritto le cose per bene, probabilmente ne puoi venire fuori anche da solo con un semplice cambio di variabile, no?

[DavideGenova1]

Sì, sì, è con un cambio di variabile che sono giunto a quella formula.
Grazie di cuore ancora!